$a\text{)}h\left(x\right)=\frac{1}{2}\mathrm{ctg}\left(-x+\frac{\pi }{6}\right)$  

Zauważmy, że:

$\mathrm{ctg}\left(-x+\frac{\pi }{6}\right)=\mathrm{ctg}\left(-\left(x-\frac{\pi }{6}\right)\right)=-\mathrm{ctg}\left(x-\frac{\pi }{6}\right)$  

1. Szkicujemy wykres funkcji:

$h_1\left(x\right)=\mathrm{ctg}x$  

2. Przesuwamy wykres funkcji h₁ o wektor [^𝜋/₆, 0] i wówczas otrzymamy wykres funkcji:

$h_2\left(x\right)=\mathrm{ctg}\left(x-\frac{\pi }{6}\right)$  

3. Odbijamy wykres funkcji h₂ symetrycznie względem osi OX i powstaje w ten sposób wykres funkcji:

$h_3\left(x\right)=-\mathrm{ctg}\left(x-\frac{\pi }{6}\right)$  

4. Przekształcamy wykres funkcji h₃ przez powinowactwo prostokątne o osi OX i skali ¹/₂ i otrzymujemy wykres funkcji:

$h\left(x\right)=\frac{1}{2}\mathrm{ctg}\left(-x+\frac{\pi }{6}\right)$  

---

$b\text{)}h\left(x\right)=-2\sin \left(-\frac{\pi }{3}-\frac{1}{2}x\right)$  

Zauważmy, że:

$-2\sin \left(-\frac{\pi }{3}-\frac{1}{2}x\right)=-2\sin \left(-\left(\frac{\pi }{3}+\frac{1}{2}x\right)\right)=$  

$=-2\sin \left(-\frac{1}{2}\left(x+\frac{2\pi }{3}\right)\right)=2\sin \left(\frac{1}{2}\left(x+\frac{2\pi }{3}\right)\right)$  

1. Szkicujemy wykres funkcji:

$h_1\left(x\right)=\sin x$  

2. Przesuwamy wykres funkcji h₁ o wektor [-^2𝜋/₃, 0] i wówczas powstaje wykres funkcji:

$h_2=\sin \left(x+\frac{2\pi }{3}\right)$  

3. Przekształcamy wykres funkcji h₂ przez powinowactwo prostokątne o osi OY i skali 2 i w ten sposób otrzymaliśmy wykres funkcji:

$h_3=\sin \left(\frac{1}{2}\left(x+\frac{2\pi }{3}\right)\right)$  

4. Przekształcamy wykres funkcji h₃ przez powinowactwo prostokątne o osi OX i skali 2 i w ten sposób otrzymaliśmy wykres funkcji:

$h_3=2\sin \left(\frac{1}{2}\left(x+\frac{2\pi }{3}\right)\right)=-2\sin \left(-\frac{\pi }{3}-\frac{1}{2}x\right)$  

---

$c\text{)}h\left(x\right)=\mathrm{ctg}x\cdot \mathrm{ctg}\left(\frac{3\pi -2x}{2}\right)$  

Założenia:

$x\ne k\pi ,k\in \mathbb{Z}\wedge \frac{3\pi -2x}{2}\ne k\pi ,k\in \mathbb{Z}$  

$x\ne k\pi ,k\in \mathbb{Z}\wedge 3\pi -2x\ne 2k\pi ,k\in \mathbb{Z}$  

$x\ne k\pi ,k\in \mathbb{Z}\wedge \frac{3}{2}\pi -x\ne k\pi ,k\in \mathbb{Z}$  

$x\ne k\pi ,k\in \mathbb{Z}\wedge x\ne \frac{3}{2}\pi -k\pi ,k\in \mathbb{Z}$

$x\ne k\pi ,k\in \mathbb{Z}\wedge x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$

Zauważmy, że:

$\mathrm{ctg}x\cdot \mathrm{ctg}\left(\frac{3\pi -2x}{2}\right)=\mathrm{ctg}x\cdot \mathrm{ctg}\left(\frac{3}{2}\pi -x\right)=\mathrm{ctg}x\cdot \mathrm{tg}x=1$  

Zatem wykres funkcji h to:

---

$d\text{)}h\left(x\right)=\mathrm{ctg}2x\cdot \sqrt{1-{\cos }^{2}2x}$  

Założenia:

$2x\ne k\pi ,k\in \mathbb{Z}$  

$x\ne \frac{k\pi }{2},k\in \mathbb{Z}$  

 

Zauważmy, że:

$\mathrm{ctg}2x\cdot \sqrt{1-{\cos }^{2}2x}=\mathrm{ctg}2x\cdot \sqrt{{\sin }^{2}2x}=$  

$=\frac{\cos 2x}{\sin 2x}\cdot \left|\sin 2x\right|$  

Wiemy, że:

$\left|\sin 2x\right|=\{\begin{array}{l}\sin 2xx\in \left(k\pi ,\frac{\pi }{2}+k\pi \right)\\ -\sin 2xx\in \left(\frac{\pi }{2}+k\pi ,k\pi \right)\end{array}$  

Więc:

$h\left(x\right)=\{\begin{array}{l}\cos 2xx\in \left(k\pi ,\frac{\pi }{2}+k\pi \right)\\ -\cos 2xx\in \left(k\pi +\frac{\pi }{2},k\pi \right)\end{array}$  

1. Szkicujemy wykres funkcji:

$h_1\left(x\right)=\cos x$  

2. Przekształcamy wykres funkcji h₁ przez powinowactwo prostokątne o osi OY i skali ¹/₂ i otrzymujemy wykres funkcji:

$h_2\left(x\right)=\cos \left(2x\right)$  

3. Uwzględniając dziedzinę funkcji h na podstawie wykresu funkcji h2 rysujemy wykres funkcji:

$h\left(x\right)=\{\begin{array}{l}\cos 2xx\in \left(k\pi ,\frac{\pi }{2}+k\pi \right)\\ -\cos 2xx\in \left(k\pi +\frac{\pi }{2},k\pi \right)\end{array}$