Dane jest równanie:

$\frac{1}{4}\left(9-m^2\right)x^2-m^{2}x+m^4=0$

 

Podane równanie ma dwa różne rozwiązania jeśli spełnione są warunki:

$1\text{)}\frac{1}{4}\left(9-m^2\right)\ne 0\wedge 2\text{)}\Delta >0$

Zatem:

$1\text{)}\frac{1}{4}\left(9-m^2\right)\ne 0$

$9-m^2\ne 0$

$\left(3-m\right)\left(3+m\right)\ne 0$

$m\ne 3\wedge m\ne -3$

$2\text{)}\Delta >0$

${\left(-m^2\right)}^2-4\cdot \frac{1}{4}\cdot \left(9-m^2\right)\cdot m^4>0$

$m^4-9m^4+m^6>0$

$-8m^4+m^6>0$

$-m^4\left(8-m^2\right)>0$

Naszkicujmy wykres znaku tej nierówności:

Zatem:

$m\in \left(-\infty ,-2\sqrt{2}\right)\cup \left(2\sqrt{2},+\infty \right)$

 

Biorąc pod uwagę rozwiązania warunków 1) i 2) wiemy, że:

$m\in \left(-\infty ,-3\right)\cup \left(-3,-2\sqrt{2}\right)\cup \left(2\sqrt{2},3\right)\cup \left(3,+\infty \right)$

 

a) Iloczyn dwóch różnych rozwiązań podanego równania to:

$x_1\cdot x_2=\frac{m^4}{\frac{1}{4}\cdot \left(9-m^2\right)}=\frac{4m^4}{9-m^2}$

 

Oznaczamy:

$f\left(m\right)=\frac{4m^4}{9-m^2}$

 

Funkcja f jest ciągła.

Obliczmy pochodną funkcji f:

$f{}^{\prime }\left(m\right)=\frac{16m^3\cdot \left(9-m^2\right)-4m^4\cdot \left(-2m\right)}{{\left(9-m^2\right)}^2}=$

$=\frac{144m^3-16m^5+8m^5}{{\left(9-m^2\right)}^2}=\frac{144m^3-8m^5}{{\left(9-m^2\right)}^2}$

 

Wyznaczmy punkty krytyczne tej funkcji:

$f{}^{\prime }\left(m\right)=0$

$\frac{144m^3-8m^5}{{\left(9-m^2\right)}^2}=0$

$144m^3-8m^5=0$

$-8m^3\left(-18+m^2\right)=0$

$-8m^3=0\vee -18+m^2=0$

$m^3=0\vee m^2=18$

$m^3=0\vee m=3\sqrt{2}\vee m=-3\sqrt{2}$

więc:

$m=0\notin \left(-\infty ,-3\right)\cup \left(-3,-2\sqrt{2}\right)\cup \left(2\sqrt{2},3\right)\cup \left(3,+\infty \right)$

$m=3\sqrt{2}\in \left(-\infty ,-3\right)\cup \left(-3,-2\sqrt{2}\right)\cup \left(2\sqrt{2},3\right)\cup \left(3,+\infty \right)$

$m=-3\sqrt{2}\in \left(-\infty ,-3\right)\cup \left(-3,-2\sqrt{2}\right)\cup \left(2\sqrt{2},3\right)\cup \left(3,+\infty \right)$

Zauważmy, że:

$f{}^{\prime }\left(m\right)>0\iff m\in \left(-\infty ,-3\sqrt{2}\right)\cup \left(0,3\sqrt{2}\right)$

$f{}^{\prime }\left(m\right)<0\iff m\in \left(-3\sqrt{2},0\right)\cup \left(3\sqrt{2},+\infty \right)$

 

Obliczamy wartości funkcji f w punktach 3√2 i -3√2:

$f\left(3\sqrt{2}\right)=\frac{4\cdot {\left(3\sqrt{2}\right)}^4}{9-{\left(3\sqrt{2}\right)}^2}=\frac{4\cdot 81\cdot 4}{9-18}=\frac{16\cdot 81}{-9}=$

$=-16\cdot 9=-144$

$f\left(-3\sqrt{2}\right)=\frac{4\cdot {\left(-3\sqrt{2}\right)}^4}{9-{\left(-3\sqrt{2}\right)}^2}=\frac{4\cdot 81\cdot 4}{9-18}=\frac{16\cdot 81}{-9}=$

$=-16\cdot 9=-144$

Obliczamy granice na krańcach przedziałów określoności:

$\underset{m\to -{\infty }^{+}}{\lim }f\left(m\right)=\underset{m\to -{\infty }^{+}}{\lim }\frac{4m^4}{9-m^2}=-\infty$

$\underset{m\to -3^{-}}{\lim }f\left(m\right)=\underset{m\to -3^{-}}{\lim }\frac{4m^4}{9-m^2}=\underset{m\to -3^{+}}{\lim }\frac{4m^4}{9-m^2}=+\infty$

$\underset{m\to -2{\sqrt{2}}^{-}}{\lim }f\left(m\right)=\underset{m\to -2{\sqrt{2}}^{-}}{\lim }\frac{4m^4}{9-m^2}=256$

$\underset{m\to 2{\sqrt{2}}^{+}}{\lim }f\left(m\right)=\underset{m\to 2{\sqrt{2}}^{+}}{\lim }\frac{4m^4}{9-m^2}=256$

$\underset{m\to 3^{-}}{\lim }f\left(m\right)=\underset{m\to 3^{-}}{\lim }\frac{4m^4}{9-m^2}=\underset{m\to 3^{+}}{\lim }\frac{4m^4}{9-m^2}=+\infty$

$\underset{m\to +{\infty }^{-}}{\lim }f\left(m\right)=\underset{m\to +{\infty }^{-}}{\lim }\frac{4m^4}{9-m^2}=-\infty$

Zatem nie istnieje liczba m, dla której iloczyn dwóch różnych rozwiązań podanego równania jest największy.

---

b) Zbadajmy czy istnieje rozwiązanie w przedziale (3, +oo)

Korzystając z rozwiązania podpunktu a) wiemy, że:

$f{}^{\prime }\left(m\right)>0\iff m\in \left(3,3\sqrt{2}\right)$

$f{}^{\prime }\left(m\right)<0\iff m\in \left(3\sqrt{2},+\infty \right)$

$f\left(3\sqrt{2}\right)=0$

Oraz:

$\underset{m\to 3^{+}}{\lim }f\left(m\right)=+\infty$

$\underset{m\to +{\infty }^{-}}{\lim }f\left(m\right)=-\infty$

Więc w podanym przedziale szukana liczba m jest równa 3√2.