W rozwiązaniu tego zadania będziemy korzystać z twierdzenia 1, 2 i 3, zamieszczonego w podręczniku na stronie 291.

$a\text{)}\underset{x\to 2}{\lim }\left(4x^2-5x-6\right)$  

Z twierdzenia 1b wynika, że:

$\underset{x\to 2}{\lim }x=2$  

Zatem:

$\underset{x\to 2}{\lim }\left(4x^2\right)=4\cdot {\left(\underset{x\to 2}{\lim }x\right)}^2=4\cdot 2^2=4\cdot 4=16$  

(zastosowaliśmy twierdzenie 2d i 2a)

$\underset{x\to 2}{\lim }\left(-5x\right)=-5\cdot \underset{x\to 2}{\lim }x=-5\cdot 2=-10$  

(zastosowaliśmy twierdzenie 2a)

$\underset{x\to 2}{\lim }\left(-6\right)=-6$  

(zastosowaliśmy twierdzenie 1a)

 

Więc szukana granica istnieje oraz:

$\underset{x\to 2}{\lim }\left(4x^2-5x-6\right)=16-10-6=0$  

---

$b\text{)}\underset{x\to -1}{\lim }{\left(3x+1\right)}^5$  

Z twierdzenia 1b wynika, że:

$\underset{x\to -1}{\lim }x=-1$  

Zatem:

$\underset{x\to -1}{\lim }{\left(3x+1\right)}^5={\left(\underset{x\to -1}{\lim }\left(3x+1\right)\right)}^5={\left(\underset{x\to -1}{\lim }\left(3x\right)+\underset{x\to -1}{\lim }1\right)}^5$  

(zastosowaliśmy twierdzenie 2d i 2a)

$\underset{x\to -1}{\lim }\left(3x\right)=3\cdot \underset{x\to -1}{\lim }x=3\cdot \left(-1\right)=-3$  

(zastosowaliśmy twierdzenie 2a)

$\underset{x\to -1}{\lim }1=1$  

(zastosowaliśmy twierdzenie 1a)

 

Więc szukana granica istnieje oraz:

$\underset{x\to 2}{\lim }{\left(3x+1\right)}^5={\left(-3+1\right)}^5={\left(-2\right)}^5=-32$  

---

$c\text{)}\underset{x\to 1}{\lim }{\left(2\sqrt{x}-1\right)}^7$  

Z twierdzenia 1b wynika, że:

$\underset{x\to 1}{\lim }x=1$  

Zatem:

$\underset{x\to 1}{\lim }{\left(2\sqrt{x}-1\right)}^7={\left(\underset{x\to 1}{\lim }\left(2\sqrt{x}-1\right)\right)}^7={\left(\underset{x\to 1}{\lim }\left(2\sqrt{x}\right)+\underset{x\to 1}{\lim }\left(-1\right)\right)}^7$  

(zastosowaliśmy twierdzenie 2d i 2a)

$\underset{x\to 1}{\lim }\left(2\sqrt{x}\right)=2\cdot \underset{x\to 1}{\lim }\sqrt{x}=2\cdot 1=2$  

(zastosowaliśmy twierdzenie 2a)

$\underset{x\to -1}{\lim }\left(-1\right)=-1$  

(zastosowaliśmy twierdzenie 1a)

 

Więc szukana granica istnieje oraz:

$\underset{x\to 2}{\lim }{\left(2\sqrt{x}-1\right)}^7={\left(2-1\right)}^7=1^7=1$  

---

$d\text{)}\underset{x\to -3}{\lim }\left[2x\cdot {\left(x-1\right)}^3\right]$  

Z twierdzenia 1b wynika, że:

$\underset{x\to -3}{\lim }x=-3$  

Zatem:

$\underset{x\to -3}{\lim }\left[2x\cdot {\left(x-1\right)}^3\right]=\underset{x\to -3}{\lim }2x\cdot \underset{x\to -3}{\lim }{\left(x-1\right)}^3=\underset{x\to -3}{\lim }2x\cdot {\left(\underset{x\to -3}{\lim }\left(x-1\right)\right)}^3$  

(zastosowaliśmy twierdzenie 2d)

$\underset{x\to -3}{\lim }\left(2x\right)=2\cdot \underset{x\to -3}{\lim }x=2\cdot \left(-3\right)=-6$  

(zastosowaliśmy twierdzenie 2a)

$\underset{x\to -3}{\lim }\left(x-1\right)=\underset{x\to -3}{\lim }x+\underset{x\to -3}{\lim }\left(-1\right)=-3-1=-4$  

(zastosowaliśmy twierdzenie 2b)

 

Więc szukana granica istnieje oraz:

$\underset{x\to 2}{\lim }\left[2x\cdot {\left(x-1\right)}^3\right]=\left(-6\right)\cdot {\left(-4\right)}^3=384$  

---

$e\text{)}\underset{x\to -2}{\lim }\sqrt{5-2x}$  

Z twierdzenia 1b wynika, że:

$\underset{x\to 2}{\lim }x=2$  

Zatem:

$\underset{x\to -2}{\lim }\left(5-2x\right)=\underset{x\to -2}{\lim }5+\underset{x\to -2}{\lim }\left(-2x\right)$  

(zastosowaliśmy twierdzenie 2b)

$\underset{x\to -2}{\lim }5=5$  

(zastosowaliśmy twierdzenie 1a)

$\underset{x\to -2}{\lim }\left(-2x\right)=-2\underset{x\to -2}{\lim }x=-2\cdot \left(-2\right)=4$  

(zastosowaliśmy twierdzenie 2a)

 

Więc szukana granica istnieje oraz:

$\underset{x\to -2}{\lim }\sqrt{5-2x}=\sqrt{5+4}=\sqrt{9}=3$  

(na mocy twierdzenia 3)

---

$f\text{)}\underset{x\to 16}{\lim }{\left(2-\sqrt{x}\right)}^3$  

Z twierdzenia 1b wynika, że:

$\underset{x\to 16}{\lim }x=16$  

Zatem:

$\underset{x\to 16}{\lim }{\left(2-\sqrt{x}\right)}^3={\left(\underset{x\to 16}{\lim }\left(2-\sqrt{x}\right)\right)}^3$  

(zastosowaliśmy twierdzenie 2d)

$\underset{x\to 16}{\lim }2=2$  

(zastosowaliśmy twierdzenie 1a)

$\underset{x\to 16}{\lim }\sqrt{x}=\sqrt{16}=4$  

(zastosowaliśmy twierdzenie 3)

 

Więc szukana granica istnieje oraz:

$\underset{x\to 16}{\lim }{\left(2-\sqrt{x}\right)}^3={\left(2-4\right)}^3={\left(-2\right)}^3=-8$