Twierdzenie o odcinkach stycznych do okręgu

Odcinki dwóch stycznych, poprowadzonych do okręgu z punktu, którego odległość od środka okręgu jest większa niż promień - wyznaczone przez ten punkt i odpowiednie punkty styczności - mają te samą długość.

---

Korzystamy z rysunku zamieszczonego w przykładzie 3 na stronie 243. 

Zauważmy, że aby udowodnić, że na czworokącie KLMN da się opisać okrąg, wystarczy pokazać, że okrąg wpisany w czworokąt ABCD przechodzi przez punkty K, L, M i N. 

---

W czworokąt ABCD można wpisać okrąg (co zostało udowodnione w przykładzie 3 na poprzedniej stronie podręcznika).

Zatem okrąg wpisany w ten czworokąt jest styczny do odcinków AB, BC, CD oraz AD.

Promień okręgu o środku A jest równy r₁, promień okręgu o środku B jest równy r₂, promień okręgu o środku C jest równy r₃, a promień okręgu o środku D jest równy r₄, czyli 

$\left|AN\right|=\left|AK\right|=r_1$

$\left|BK\right|=\left|BL\right|=r_2$

$\left|CL\right|=\left|CM\right|=r_3$

$\left|DN\right|=\left|DM\right|=r_4$

czyli na mocy twierdzenia o odcinkach stycznych do okręgu, punkty K, L, M, N są punktami styczności okręgu wpisanego w czworokąt ABCD odpowiednio do boków AB, BC, CD i AD. Czyli okrąg wpisany w czworokąt ABCD przechodzi przez punkty K, L, M i N. Zatem na czworokącie KLMN da się opisać okrąg, co należało dowieść.