Wykonajmy rysunek pomocniczy:

Najpierw udowodnimy, że odcinek zawierający środki przekątnych trapezu zawiera się w odcinku łączącym środki ramion trapezu.

Punkt S₁ jest środkiem boku AD zatem na mocy cechy kąt-kąt-kąt trójkąty S₁DF i ADB są podobne w skali 2.

Więc:

$2\left|DF\right|=\left|DB\right|$  

Czyli punkt F jest środkiem odcinka DB.

Punkt S₂ jest środkiem boku BC zatem na mocy cechy kąt-kąt-kąt trójkąty S₂CE i BCA są podobne w skali 2.

Więc:

$2\left|CE\right|=\left|CA\right|$  

Czyli punkt E jest środkiem odcinka AC.

 

Wykazaliśmy, że odcinek EF zawiera się w odcinku S₁S₂ teraz wyznaczymy długość odcinka EF.

Z podobieństwa trójkątów: S₁DF i ADB oraz S₂CE i BCA otrzymujemy, że:

$\left|S_{1}F\right|=\frac{a}{2}$  

oraz

$\left|E{S}_2\right|=\frac{a}{2}$  

$\left|S_1{S}_2\right|=\frac{a+b}{2}$  

$\left|S_{1}F\right|+\left|E{S}_2\right|-\left|EF\right|=\frac{a+b}{2}$  

$\frac{a}{2}+\frac{a}{2}-\left|EF\right|=\frac{a+b}{2}$  

$a-\left|EF\right|=\frac{a+b}{2}$  

$a-\frac{a+b}{2}=\left|EF\right|$  

$\left|EF\right|=\frac{2a}{2}-\frac{a+b}{2}$  

$\left|EF\right|=\frac{a-b}{2}$  

c.n.w.