$a\text{)}60\frac{3}{4}+81+108+\dots +256$  

Wyznaczmy iloraz tego ciągu:

$q=\frac{108}{81}=\frac{4}{3}$  

Obliczmy, ile wyrazów ma ten ciąg:

$a_n=256$  

$a_1\cdot q^{n-1}=256$  

$60\frac{3}{4}\cdot {\left(\frac{4}{3}\right)}^{n-1}=256$  

$\frac{243}{4}\cdot {\left(\frac{4}{3}\right)}^{n-1}=256$  

${\left(\frac{4}{3}\right)}^{n-1}=256\cdot \frac{4}{243}$  

${\left(\frac{4}{3}\right)}^{n-1}=\frac{1024}{243}$  

${\left(\frac{4}{3}\right)}^{n-1}={\left(\frac{4}{3}\right)}^5$  

$n-1=5$  

$n=6$  

 

Obliczmy sumę sześciu wyrazów tego ciągu:

$S_6=60\frac{3}{4}\cdot \frac{1-{\left(\frac{4}{3}\right)}^6}{1-\frac{4}{3}}$  

$S_6=\frac{243}{4}\cdot \frac{1-{\left(\frac{4}{3}\right)}^6}{-\frac{1}{3}}$  

$S_6=-\frac{729}{4}\cdot \left(1-{\left(\frac{4}{3}\right)}^6\right)$  

$S_6=-\frac{729}{4}\cdot \left(1-\frac{4096}{729}\right)$  

$S_6=-\frac{729}{4}\cdot \left(-\frac{3367}{729}\right)$  

$S_6=\frac{3367}{4}$  

$S_6=841\frac{3}{4}$  

---

$b\text{)}40-20+10-5+\dots +\frac{5}{8}$  

Wyznaczmy iloraz tego ciągu:

$q=\frac{-20}{40}=-\frac{1}{2}$  

Obliczmy, ile wyrazów ma ten ciąg:

$a_n=\frac{5}{8}$  

$a_1\cdot q^{n-1}=\frac{5}{8}$  

$40\cdot {\left(-\frac{1}{2}\right)}^{n-1}=\frac{5}{8}$  

${\left(-\frac{1}{2}\right)}^{n-1}=\frac{5}{8}\cdot \frac{1}{40}$  

${\left(-\frac{1}{2}\right)}^{n-1}=\frac{1}{64}$  

${\left(-\frac{1}{2}\right)}^{n-1}={\left(-\frac{1}{2}\right)}^6$  

$n-1=6$  

$n=7$  

 

Obliczmy sumę siedmiu wyrazów tego ciągu:

$S_7=40\cdot \frac{1-{\left(-\frac{1}{2}\right)}^7}{1-\left(-\frac{1}{2}\right)}$  

$S_7=40\cdot \frac{1-\left(-\frac{1}{128}\right)}{\frac{3}{2}}$  

$S_7=40\cdot \frac{1+\frac{1}{128}}{\frac{3}{2}}$  

$S_7=40\cdot \frac{129}{128}\cdot \frac{2}{3}$  

$S_7=40\cdot \frac{129}{64}\cdot \frac{1}{3}$  

$S_7=10\cdot \frac{129}{16}\cdot \frac{1}{3}$  

$S_7=\frac{1290}{48}$  

$S_7=26\frac{7}{8}$