Wprowadźmy oznaczenia:

(a₁, a₂, a₃) -ciąg geometryczny

(b_n) - ciąg arytmetyczny

 

Wiemy, że:

$\{\begin{array}{l}{a}_1=b_1\\ a_2=b_2\\ a_3=b_4\end{array}$  

Czyli:

$\{\begin{array}{l}{a}_1=b_1\\ a_2=b_1+r\\ a_3=b_1+3r\end{array}$  

Oraz:

$a_1+a_2+a_3=35$  

 

Rozważmy dwa przypadki:

1. Ciąg (a₁, a₂, a₃) jest stały wówczas:

$a_1=a_2=a_3$  

$35:3=\frac{35}{3}=11\frac{2}{3}$  

2. Ciąg (a₁, a₂, a₃) nie jest stały wówczas:

Wyznaczmy ten ciąg geometryczny:

$\{\begin{array}{l}{a}_1+a_2+a_3=35\\ a_2^2=a_1\cdot a_3\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}{b}_1+b_2+b_4=35\\ b_2^2=b_1\cdot b_4\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}{b}_1+b_1+r+b_1+3r=35\\ {\left(b_1+r\right)}^2=b_1\cdot \left(b_1+3r\right)\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}3b_1+4r=35\\ {\left(b_1+r\right)}^2=b_1\cdot \left(b_1+3r\right)\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}3b_1+4r=35\\ b_1^2+2b_{1}r+r^2=b_1^2+3b_{1}r\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}3b_1+4r=35\\ r^2=b_{1}r\end{array}$

$\{\begin{array}{l}3b_1+4r=35\\ r=b_1\end{array}$

$\{\begin{array}{l}3b_1+4b_1=35\\ r=b_1\end{array}$

$\{\begin{array}{l}7b_1=35\\ r=b_1\end{array}$

$\{\begin{array}{l}{b}_1=5\\ r=5\end{array}$

Zatem:

$a_1=5$  

$a_2=5+5=10$  

$a_3=5+3\cdot 5=5+15=20$  

 

Odp.: Szukany ciąg geometryczny to: (11 ²/₃, 11 ²/₃, 11 ²/₃) lub (5, 10, 20).