Dana jest suma:

$32+16+8+4+2+1+\frac{1}{2}+\dots +\frac{1}{64}+\frac{1}{128}$  

Łatwo możemy zauważyć, że kolejne składniki tej sumy tworzą ciąg geometryczny taki, że:

$\{\begin{array}{l}{a}_1=32\\ q=\frac{1}{2}\end{array}$  

 

Obliczmy, ile wyrazów liczy ta suma skoro:

$a_n=\frac{1}{128}$  

$\frac{1}{128}=32\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-1}$  

$\frac{1}{4096}={\left(\frac{1}{2}\right)}^n\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^{-1}$  

$\frac{1}{4096}={\left(\frac{1}{2}\right)}^n\cdot 2$  

${\left(\frac{1}{2}\right)}^n=\frac{1}{8192}$  

${\left(\frac{1}{2}\right)}^n={\left(\frac{1}{2}\right)}^{13}$  

$n=13$  

 

Obliczmy wartość tej sumy:

$S_3=32\cdot \frac{1-{\left(\frac{1}{2}\right)}^{13}}{1-\frac{1}{2}}=32\cdot \frac{1-\frac{1}{8192}}{\frac{1}{2}}=$  

$=64\cdot \frac{8191}{8192}=\frac{8191}{128}=63\frac{127}{128}$  

 

Odp.: Wartość tej sumy to 63 ¹²⁷/₁₂₈.