Zbadaj, który z ciągów...- Zadanie 1: Matematyka 3. Zakres podstawowy

Rozwiązanie

$a) a_{n} = 3^{n + 1} \cdot 5^{n}$

Sprawdźmy czy ciąg (a_n) jest geometryczny:

$\frac{a _{n + 1}}{a _{n}} = \frac{3 ^{n + 1 + 1} \cdot 5 ^{n + 1}}{3 ^{n + 1} \cdot 5 ^{n}} = \frac{3 ^{n + 1} \cdot 3 \cdot 5 ^{n} \cdot 5}{3 ^{n + 1} \cdot 5 ^{n}} = 3 \cdot 5 = 15$

Iloraz tego ciągu jest stale równy 15, zatem ciąg (a_n) jest geometryczny.

$b) b_{n} = {- 1 je \overset{s}{ˊ} li n = 2 k 1 je \overset{s}{ˊ} li n = 2 k - 1 k \in N_{+} k \in N_{+}$

Sprawdźmy czy ciąg (b_n) jest geometryczny:

Rozważmy dwa przypadki:

$1) n = 2 k$

$\frac{b _{n + 1}}{b _{n}} = \frac{b _{2 k + 1}}{b _{2 k}} = \frac{1}{- 1} = - 1$

$2) n = 2 k - 1$

$\frac{b _{n + 1}}{b _{n}} = \frac{b _{2 k - 1 + 1}}{b _{2 k - 1}} = \frac{b _{2 k}}{b _{2 k - 1}} = \frac{- 1}{1} = - 1$

Parzyste wyrazy tego ciągu są równe -1, a nieparzyste 1, więc ciąg (b_n) jest geometryczny o ilorazie -1.

$c) c_{n} = \frac{2 ^{n}}{n}$

Sprawdźmy czy ciąg (c_n) jest geometryczny:

$\frac{c _{n + 1}}{c _{n}} = \frac{\frac{2 ^{n + 1}}{n + 1}}{\frac{2 ^{n}}{n}} = \frac{2 ^{n + 1}}{n + 1} \cdot \frac{n}{2 ^{n}} = \frac{2 ^{n} \cdot 2}{n + 1} \cdot \frac{n}{2 ^{n}} = \frac{2 n}{n + 1}$