$a\text{)}\frac{\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(2x-3\right)}{x^2+x-2}=0$  

Założenia:

$x^2+x-2\ne 0$  

$x^2-x+2x-2\ne 0$  

$x\left(x-1\right)+2\left(x-1\right)\ne 0$  

$\left(x-1\right)\left(x+2\right)\ne 0$  

Zatem:

$x\ne 1\wedge x\ne -2$  

$D=\mathbb{R}-\left\{-2,1\right\}$  

 

Rozwiążmy podane równanie:

$\frac{\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(2x-3\right)}{x^2+x-2}=0$  

$\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(2x-3\right)=0$  

$x-1=0\vee x+2=0\vee 2x-3=0$  

$x=1\notin D\vee x=-2\notin D\vee x=\frac{3}{2}\in D$  

 

Podane równanie ma jedno rozwiązanie równe  $\frac{3}{2}.$  

---

$b\text{)}\frac{x^3-4x^2+3x}{x\left(x-1\right)}=0$  

Założenia:

$x\left(x-1\right)\ne 0$  

$x\ne 0\wedge x-1\ne 0$  

$x\ne 0\wedge x\ne 1$  

$D=\mathbb{R}-\left\{0,1\right\}$  

 

Rozwiążmy podane równanie:

$\frac{x^3-4x^2+3x}{x\left(x-1\right)}=0$  

$x^3-4x^2+3x=0$  

$x\left(x^2-4x+3\right)=0$  

$x=0\vee x^2-3x-x+3=0$  

$x=0\vee x\left(x-3\right)-\left(x-3\right)=0$  

$x=0\vee \left(x-3\right)\left(x-1\right)=0$  

$x=0\vee x-3=0\vee x-1=0$  

$x=0\notin D\vee x=3\in D\vee x=1\notin D$  

 

Podane równanie ma jedno rozwiązanie równe  $3.$

---

$c\text{)}\frac{x^3+4x^2-4x-16}{\left(2x-3\right)\left(x+4\right)}=0$  

Założenia:

$\left(2x-3\right)\left(x+4\right)\ne 0$  

$2x-3\ne 0\wedge x+4\ne 0$  

$x\ne \frac{3}{2}\wedge x\ne -4$  

$D=\mathbb{R}-\left\{-4,\frac{3}{2}\right\}$  

 

Rozwiążmy podane równanie:

$\frac{x^3+4x^2-4x-16}{\left(2x-3\right)\left(x+4\right)}=0$  

$x^3+4x^2-4x-16=0$  

$x^2\left(x+4\right)-4\left(x+4\right)=0$  

$\left(x+4\right)\left(x^2-4\right)=0$  

$\left(x+4\right)\left(x-2\right)\left(x+2\right)=0$  

$x+4=0\vee x-2=0\vee x+2=0$  

$x=-4\notin D\vee x=2\in D\vee x=-2\in D$  

 

Podane równanie ma dwa rozwiązania  $2$  lub  $-2.$  

---

$d\text{)}\frac{\left(2x^2-8\right)\left(3x^2-27\right)}{x^2-5x+6}=0$  

Założenia:

$x^2-5x+6\ne 0$  

$x^2-3x-2x+6\ne 0$  

$x\left(x-3\right)-2\left(x-3\right)\ne 0$  

$\left(x-3\right)\left(x-2\right)\ne 0$  

$x-3\ne 0\wedge x-2\ne 0$  

$x\ne 3\wedge x\ne 2$  

$D=\mathbb{R}-\left\{2,3\right\}$  

 

Rozwiążmy podane równanie:

$\frac{\left(2x^2-8\right)\left(3x^2-27\right)}{x^2-5x+6}=0$  

$\left(2x^2-8\right)\left(3x^2-27\right)=0$  

$2x^2-8=0\vee 3x^2-27=0$  

$2x^2=8\vee 3x^2=27$  

$x^2=4\vee x^2=9$  

$x=2\notin D\vee x=-2\in D\vee x=3\notin D\vee x=-3\in D$  

 

Podane równanie ma dwa rozwiązania  $-2$  lub  $-3.$  

---

$e\text{)}\frac{x^4-2x^2-15}{x^2+2x+8}=0$  

Założenia:

$x^2+2x+8\ne 0$  

Zauważmy, że:

$x^2+2x+8>0,x\in \mathbb{R}$  

Zatem:

$D=\mathbb{R}$  

 

Rozwiążmy podane równanie:

$\frac{x^4-2x^2-15}{x^2+2x+8}=0$  

$x^4-2x^2-15=0$  

Stosujemy podstawienie:

$t=x^2,t\in ⟨0,+\infty )$  

$t^2-2t-15=0$  

$\Delta ={\left(-2\right)}^2-4\cdot 1\cdot \left(-15\right)=4+60=64,\sqrt{\Delta }=8$  

$t_1=\frac{2-8}{2}=\frac{-6}{2}=-3<0$  

$t_2=\frac{2+8}{2}=\frac{10}{2}=5$  

Zatem:

$x^2=5$  

$x=\sqrt{5}\vee x=-\sqrt{5}$  

 

Podane równanie ma dwa rozwiązania równe  $\sqrt{5}$  lub  $-\sqrt{5}.$  

---

$f\text{)}\frac{x^3+x^2+3x-5}{x^2+2x+5}=0$  

Założenia:

$x^2+2x+5\ne 0$  

Zauważmy, że:

$x^2+2x+5>0,x\in \mathbb{R}$  

Zatem:

$D=\mathbb{R}$  

 

Rozwiążmy podane równanie:

$\frac{x^3+x^2+3x-5}{x^2+2x+5}=0$  

$x^3+x^2+3x-5=0$  

$x^3-x^2+2x^2-2x+5x-5=0$

$x^2\left(x-1\right)+2x\left(x-1\right)+5\left(x-1\right)=0$

$\left(x-1\right)\left(x^2+2x+5\right)=0$  

$x-1=0\vee x^2+2x+5=0$  

Zauważmy, że:

$x^2+2x+5>0,x\in \mathbb{R}$  

Zatem:

$x=1$  

 

Podane równanie ma jedno rozwiązanie równe  $1.$