a)

Wiemy, że:

$r=-4$  

oraz

$\frac{a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6}{6}=16$  

Ze wzoru na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego mamy:

$a_2=a_1+\left(2-1\right)r=a_1+r$  

$a_3=a_1+\left(3-1\right)r=a_1+2r$  

$a_4=a_1+\left(4-1\right)r=a_1+3r$  

$a_5=a_1+\left(5-1\right)r=a_1+4r$  

$a_6=a_1+\left(6-1\right)r=a_1+5r$  

Zatem:

$\frac{a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6}{6}=16$  

$\frac{a_1+a_1+r+a_1+2r+a_1+3r+a_1+4r+a_1+5r}{6}=16$  

$\frac{6a_1+15r}{6}=16$  

$\frac{6a_1+15\cdot \left(-4\right)}{6}=16$  

$\frac{6a_1-60}{6}=16$  

$a_1-10=16$  

$a_1=26$  

Odp. Pierwszy wyraz ciągu jest równy 26.

---

b)

Wyznaczamy wzór na n-ty wyraz ciągu (a_n):

$a_n=a_1+\left(n-1\right)r$  

$a_n=26+\left(n-1\right)\cdot \left(-4\right)$  

$a_n=26-4n+4$  

$a_n=-4n+30$  

Wyznaczamy k, dla którego a_k=-78.

$-78=-4k+30$  

$-108=-4k\mid \cdot \left(-1\right)$  

$108=4k\mid :4$  

$27=k$  

$k=27$  

Odp. a_k=-78 dla k=27.