Sprawdźmy A.

$\underset{n\to \infty }{\lim }{\left(-2\right)}^n$  

Ciąg (-2)ⁿ jest ciągiem naprzemiennym, zatem granica nie istnieje.

${\left(-2\right)}^n=\{\begin{array}{l}{2}^n\text{gdy}\text{n parzyste}\\ -2^n\text{gdy}\text{n nieparzyste}\end{array}$  

 

Sprawdźmy B.               

$a_n=-n^2+120n$  

Łatwo zauważyć, że jest to parabola, której ramiona są skierowane w dół.

Zatem np. dla M=1 nie jest spełniony warunek:

$a_n<M$  

 

Sprawdźmy C.

$a_n=n\left({\left(-1\right)}^n+2\right)$  

Zauważmy, że:

$a_1=1\cdot \left({\left(-1\right)}^1+2\right)=-1+2=1$  

$a_2=2\left({\left(-1\right)}^2+2\right)=2\cdot \left(1+2\right)=2\cdot 3=6$  

$a_3=3\cdot \left({\left(-1\right)}^3+2\right)=3\cdot \left(-1+2\right)=3\cdot 1=3$  

$a_4=4\cdot \left({\left(-1\right)}^4+2\right)=4\cdot \left(1+2\right)=4\cdot 3=12$  

$a_5=5\cdot \left({\left(-1\right)}^5+2\right)=5\cdot \left(-1+2\right)=5\cdot 1=5$  

Zauważmy, że podciąg wyrazów o numerach parzystych jest rozbieżny do oo, podciąg wyrazów o numerach parzystych jest rozbieżny do oo.

 

Sprawdźmy D.

$\underset{n\to \infty }{\lim }\left({\left(\frac{1}{3}\right)}^n+1000\right)=1000$  

 

Odp. C