Wyznaczmy współrzędne punktów A',B',C' i D', które są obrazem punktów A, B, C, D w symetrii względem punktu (0, 0).

$A{}^{\prime }\left(-4,-2\right)$  

$B{}^{\prime }\left(-1,4\right)$  

$C{}^{\prime }\left(2,3\right)$  

$D{}^{\prime }\left(0,-1\right)$  

 

Rysunek pomocniczy:   

Aby wyznaczyć współrzędne punktu F wystarczy wyznaczyć równania prostych D'C' i DA, a następnie punkt przecięcia tych prostych.

Równanie prostej D'C':

$a_{D{}^{\prime }C{}^{\prime }}=\frac{y_c{}^{\prime }-y_d{}^{\prime }}{x_c{}^{\prime }-x_d{}^{\prime }}=\frac{3-\left(-1\right)}{2-0}=\frac{4}{2}=2$  

$y=2x+b$  

Podstawiając współrzędne punktu D' mamy:

$-1=2\cdot 0+b$  

$-1=b$  

Zatem mamy:

$y=2x-1$  

 

Równanie prostej DA:

$a_{DA}=\frac{y_a-y_d}{x_a-x_d}=\frac{2-1}{4-0}=\frac{1}{4}$  

$y=\frac{1}{4}x+b$  

Podstawiając współrzędne punktu A mamy:

$2=\frac{1}{4}\cdot 4+b$  

$2=1+b$  

$1=b$  

Zatem mamy:

$y=\frac{1}{4}x+1$  

 

Wyznaczmy punkt przecięcia tych prostych.

$\{\begin{array}{l}y=2x-1\\ y=\frac{1}{4}x+1\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=2x-1\\ 2x-1=\frac{1}{4}x+1\mid \cdot 4\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=2x-1\\ 8x-4=x+4\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=2x-1\\ 7x=8\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=2x-1\\ x=\frac{8}{7}\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=2\cdot \frac{8}{7}-\frac{7}{7}\\ x=\frac{8}{7}\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}y=\frac{9}{7}\\ x=\frac{8}{7}\end{array}$  

$F\left(\frac{8}{7},\frac{9}{7}\right)$  

 

Wyznaczmy długość odcinka D'F.

$\left|D{}^{\prime }F\right|=\sqrt{{\left(\frac{8}{7}-0\right)}^2+{\left(\frac{9}{7}-\left(-1\right)\right)}^2}$  

$\left|D{}^{\prime }F\right|=\sqrt{{\left(\frac{8}{7}\right)}^2+{\left(\frac{16}{7}\right)}^2}$  

$\left|D{}^{\prime }F\right|=\sqrt{\frac{64}{49}+\frac{256}{49}}$  

$\left|D{}^{\prime }F\right|=\sqrt{\frac{320}{49}}$  

$\left|D{}^{\prime }F\right|=\frac{8\sqrt{5}}{7}$  

 

Wyznaczmy równanie prostej ED. Zauważmy, że jest to prosta równoległa do prostej C'D', zatem jest postaci:

$y=2x+b$  

Podstawiając współrzędne punktu D mamy:

$1=2\cdot 0+b$  

$1=b$  

Zatem mamy:

$y=2x+1$  

$0=2x-y+1$  

Wyznaczmy odległość punktu F od tej prostej.

$h=\frac{\left|2\cdot \frac{8}{7}-1\cdot \frac{9}{7}+1\right|}{\sqrt{2^2+{\left(-1\right)}^2}}$  

$h=\left|\frac{16}{7}-\frac{9}{7}+\frac{7}{7}\right|\sqrt{4+1}$  

$h=\frac{2}{\sqrt{5}}$  

 

Wyznaczmy pole części wspólnych tych trapezów.

$P_{ED{}^{\prime }FD}=\left|D{}^{\prime }F\right|\cdot h$  

$P_{ED{}^{\prime }FD}=\frac{8\sqrt{5}}{7}\cdot \frac{2}{\sqrt{5}}$  

$P_{ED{}^{\prime }FD}=\frac{16}{7}$