Dowolny wielomian jest postaci:

$W\left(x\right)=a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\dots +a_{1}x+a_0$  

Zauważmy, że każda z funkcji  $a_n{x}^n,a_{n-1}{x}^{n-1},\dots ,a_{1}x,a_0$   ma pochodną w dowolnym punkcie  $x_0\in \mathbb{R}.$                        

Korzystając ze wzoru na pochodną sumy funkcji:

$\left(f\left(x\right)+g\left(x\right)+h\left(x\right)+\dots \right){}^{\prime }=f{}^{\prime }\left(x\right)+g{}^{\prime }\left(x\right)+h{}^{\prime }\left(x\right)+\dots$   możemy zapisać:

$W{}^{\prime }\left(x\right)=\left(a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\dots +a_{1}x+a_0\right){}^{\prime }$  

$W{}^{\prime }\left(x\right)=\left(a_n{x}^n\right){}^{\prime }+\left(a_{n-1}{x}^{n-1}\right){}^{\prime }+\dots +\left(a_{1}x\right){}^{\prime }+\left(a_0\right){}^{\prime }$  

$W{}^{\prime }\left(x\right)=a_n\cdot n{x}^{n-1}+a_{n-1}\cdot \left(n-1\right)\cdot x^{n-1-1}+\dots +a_1\cdot 1$  

$W{}^{\prime }\left(x\right)=a_{n}n{x}^{n-1}+a_{n-1}\left(n-1\right)x^{n-2}+\dots +a_1$  

Zatem pokazaliśmy, że każdy wielomian ma pochodną w dowolnym punkcie  $x_0\in \mathbb{R}.$