Obliczamy granicę ilorazu różnicowego: 

$\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{x^3-x_0^3}{x-x_0}=$  

Korzystając ze wzoru skróconego mnożenia  $a^3-b^3=\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)$   możemy zapisać:

$=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{\left(x-x_0\right)\left(x^2+x\cdot x_0+x_0^2\right)}{x-x_0}=\underset{x\to x_0}{\lim }\left(x^2+x\cdot x_0+x_0^2\right)=$  

$=x_0^2+x_0\cdot x_0+x_0^2=3x_0^2$  

 

Zatem pokazaliśmy, że funkcja  $f\left(x\right)=x^3$   ma pochodną w dowolnym punkcie  $x_0\in \mathbb{R}.$