Wyznaczmy asymptotę  funkcji f.

$\underset{x\to \infty }{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{1-2x^2}{x^2-3x+5}=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{x^2\left(\frac{1}{x^2}-2\right)}{x^2\left(1-\frac{3}{x}+\frac{5}{x^2}\right)}=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{\frac{1}{x^2}-2}{1-\frac{3}{x}+\frac{5}{x^2}}=\frac{-2}{1}=-2$                 

$\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{1-2x^2}{x^2-3x+5}=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{x^2\left(\frac{1}{x^2}-2\right)}{x^2\left(1-\frac{3}{x}+\frac{5}{x^2}\right)}=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{\frac{1}{x^2}-2}{1-\frac{3}{x}+\frac{5}{x^2}}=\frac{-2}{1}=-2$  

Zatem prosta $y=-2$   jest asymptotą poziomą funkcji f.

 

Wyznaczmy asymptotę funkcji g, w zależności od parametru m.

$\underset{x\to \infty }{\lim }g\left(x\right)=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{6x^3-2x^2}{1+m{x}^3}=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{x^3\left(6-\frac{2}{x}\right)}{x^3\left(\frac{1}{x^3}+m\right)}=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{6-\frac{2}{x}}{\frac{1}{x^3}+m}=\frac{6}{m}$  

$\underset{x\to -\infty }{\lim }g\left(x\right)=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{6x^3-2x^2}{1+m{x}^3}=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{x^3\left(6-\frac{2}{x}\right)}{x^3\left(\frac{1}{x^3}+m\right)}=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{6-\frac{2}{x}}{\frac{1}{x^3}+m}=\frac{6}{m}$  

Zatem prosta $y=\frac{6}{m}$   jest asymptotą poziomą funkcji g.

 

Wykresy funkcji f i g mają takie same asymptoty, gdy:

$-2=\frac{6}{m}$  

$-2m=6$  

$m=-3$