8 szkoły podstawowej

Matematyka wokół nas 8

Aby na przeciwprostokątnej trójkąta był przynajmniej jeszcze jeden punkt kratowy, to liczby a i b (długości przyprostokątnych) nie mogą być względnie pierwsze, czyli  NWD(a,b)=1   <hr> a) NWD(6,8)=2=1   Odp. Na przeciwprostokątnej jest jeszcze co najmniej jeden punkt kratowy. <hr> b) Obliczmy długość drugiej przyprostokątnej, korzystając z tw. Pitagorasa. a2+b2=c2   62+b2=(213<svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width='400em' height='1.08em' viewBox='0 0 400000 1080' preserveAspectRatio='xMinYMin slice'><path d='M95,702
c-2.7,0,-7.17,-2.7,-13.5,-8c-5.8,-5.3,-9.5,-10,-9.5,-14
c0,-2,0.3,-3.3,1,-4c1.3,-2.7,23.83,-20.7,67.5,-54
c44.2,-33.3,65.8,-50.3,66.5,-51c1.3,-1.3,3,-2,5,-2c4.7,0,8.7,3.3,12,10
s173,378,173,378c0.7,0,35.3,-71,104,-213c68.7,-142,137.5,-285,206.5,-429
c69,-144,104.5,-217.7,106.5,-221
l0 -0
c5.3,-9.3,12,-14,20,-14
H400000v40H845.2724
s-225.272,467,-225.272,467s-235,486,-235,486c-2.7,4.7,-9,7,-19,7
c-6,0,-10,-1,-12,-3s-194,-422,-194,-422s-65,47,-65,47z
M834 80h400000v40h-400000z'/></svg>​)2   36+b2=4⋅13   36+b2=52   ∣−36   b2=16   b=4     NWD(6,4)=2=1    Odp. Na przeciwprostokątnej jest jeszcze co najmniej jeden punkt kratowy.

Rozwiązanie 1

I. PRAWDA                               
Uzasadnienie:

Wyznaczmy środek odcinka KL. S=(24+(−3)​,26+(−1)​)

Obliczmy liczbę punktów kratowych wewnątrz wielokąta. W=14     Obliczmy liczbę punktów kratowych na brzegu wielokąta.

Wybierzmy dowolny punkt L, na przykład L=(0,4). Narysujmy prostą przechodzącą przez punkty M i L.