a) Suma wyrazów nieskończonego ciągu ...- Zadanie 287: Matematyka z plusem 3. Zakres podstawowy i rozszerzony

Rozwiązanie

a) Przyjmijmy, że wyrazy ciągu $(a_{n})$ o numerach nieparzystych tworzą ciąg $(b_{n}),$ w którym:

$b_{1} = a_{1}$

$q_{b} = q^{2}$

Suma wyrazów ciągu $(a_{n})$ jest trzy razy mniejsza od sumy wyrazów o numerach nieparzystych. Zapisujemy odpowiednie równanie. Korzystamy ze wzoru na sumę szeregu geometrycznego.

$\frac{a _{1}}{1 - q} = \frac{1}{3} \cdot \frac{a _{1}}{1 - q ^{2}} ∣ : a_{1}$

$\frac{1}{1 - q} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{( 1 - q ) ( 1 + q )} ∣ \cdot (1 - q)$

$1 = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{1 + q} ∣ \cdot (1 + q)$

$1 + q = \frac{1}{3} ∣ - 1$

$q = - \frac{2}{3}$

b) Przyjmijmy, że wyrazy ciągu $(a_{n})$ o numerach parzystych tworzą ciąg $(b_{n}),$ w którym:

$b_{1} = a_{2}$

$q_{b} = q^{2}$

Suma wyrazów ciągu $(a_{n})$ jest trzy razy większa od sumy wyrazów o numerach parzystych. Zapisujemy odpowiednie równanie. Korzystamy ze wzoru na sumę szeregu geometrycznego.

$\frac{a _{1}}{1 - q} = 3 \cdot \frac{a _{2}}{1 - q ^{2}}$

$\frac{a _{1}}{1 - q} = 3 \cdot \frac{a _{1} \cdot q}{( 1 - q ) ( 1 + q )} ∣ : a_{1}$

$\frac{1}{1 - q} = 3 \cdot \frac{q}{( 1 - q ) ( 1 + q )} ∣ \cdot (1 - q)$

$1 = 3 \cdot \frac{q}{( 1 + q ) ∣ \cdot ( 1 + q )}$

$1 + q = 3 q ∣ - q$

$1 = 2 q ∣ : 2$

$\frac{1}{2} = q$

c) Przyjmijmy, że wyrazy ciągu $(a_{n})$ o numerach nieparzystych tworzą ciąg $(b_{n}),$ w którym:

$b_{1} = a_{1}$

$q_{b} = q^{2}$

Szereg geometryczny jest zbieżny, gdy iloraz $q$ spełnia warunek $∣ q ∣ < 1 .$ Załóżmy więc, że $∣ q ∣ < 1 .$

Sprawdzimy, czy suma wyrazów ciągu $(a_{n})$ może być trzy razy większa od sumy wyrazów o numerach nieparzystych. Zapisujemy odpowiednie równanie. Korzystamy ze wzoru na sumę szeregu geometrycznego.

$\frac{a _{1}}{1 - q} = 3 \cdot \frac{a _{1}}{1 - q ^{2}} ∣ : a_{1}$