a)   $1+2+3+\dots +n=3160$  

Liczba  $n$  jest  $n$ -tym wyrazem tego ciągu.

Suma $n$  początkowych wyrazów tego ciągu ma być równa 3160, więc:

$S_n=3160$  

$\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n=3160$  

$\frac{1+n}{2}\cdot n=3160\mid \cdot 2$  

$\left(1+n\right)\cdot n=6320$  

$n+n^2=6320\mid -6320$  

$n^2+n-6320=0$  

Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego.

$\Delta =1^2-4\cdot 1\cdot \left(-6320\right)=1+25280=25281$   

Wyznaczamy pierwiastki równania $n^2+n-6320=0.$  

$n_1=\frac{-1-\sqrt{25281}}{2\cdot 1}=\frac{-1-159}{2}=\frac{-160}{2}=-80\notin \mathbb{N}$  

$n_2=\frac{-1+\sqrt{25281}}{2\cdot 1}=\frac{-1+159}{2}=\frac{158}{2}=79$  

Zatem:

$n=79$  

---

b)   $3+6+9+\dots +3n=273$  

Liczba  $3n$  jest  $n$ -tym wyrazem tego ciągu.

Suma $n$  początkowych wyrazów tego ciągu ma być równa 273, więc:

$S_n=273$  

$\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n=273$  

$\frac{3+3n}{2}\cdot n=273\mid \cdot 2$  

$\left(3+3\right)\cdot n=546$  

$3n+3n^2=546\mid -546$  

$3n^2+3n-546=0\mid :3$  

$n^2+n-182=0$  

Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego.

$\Delta =1^2-4\cdot 1\cdot \left(-182\right)=1+728=729$   

Wyznaczamy pierwiastki równania $n^2+n-182=0.$  

$n_1=\frac{-1-\sqrt{729}}{2\cdot 1}=\frac{-1-27}{2}=\frac{-28}{2}=-14\notin \mathbb{N}$  

$n_2=\frac{-1+\sqrt{729}}{2\cdot 1}=\frac{-1+27}{2}=\frac{26}{2}=13$  

Zatem:

$n=13$  

---

c)   $2+7+12+\dots +\left(5n-3\right)=1199$  

Liczba  $5n-3$  jest  $n$ -tym wyrazem tego ciągu.

Suma $n$  początkowych wyrazów tego ciągu ma być równa 1199, więc:

$S_n=1199$  

$\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n=1199$  

$\frac{2+5n-3}{2}\cdot n=1199$  

$\frac{5n-1}{2}\cdot n=1199\mid \cdot 2$  

$\left(5n-1\right)\cdot n=2398\mid \cdot 2$  

$5n^2-n=2398\mid -2398$  

$5n^2-n-2398=0$  

Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego.

$\Delta ={\left(-1\right)}^2-4\cdot 5\cdot \left(-2398\right)=1+47960=47961$   

Wyznaczamy pierwiastki równania $5n^2-n-2398=0.$  

$n_1=\frac{-\left(-1\right)-\sqrt{47961}}{2\cdot 5}=\frac{1-219}{10}=\frac{-218}{10}=-21,8\notin \mathbb{N}$  

$n_2=\frac{-\left(-1\right)+\sqrt{47961}}{2\cdot 5}=\frac{1+219}{10}=\frac{220}{10}=22$  

Zatem:

$n=22$