a) Liczba logarytmowana musi być dodatnia, więc zakładamy, że:

$x>0\wedge x-1>0$  

$x>0\wedge x>1$  

Zatem:

$x\in \left(1;+\infty \right)$  

Korzystamy ze związku zachodzącego między sąsiednimi wyrazami ciągu arytmetycznego:

${\log }_{2}x=\frac{{\log }_{2}3+{\log }_2\left(x-1\right)}{2}\mid \cdot 2$  

$2{\log }_{2}x={\log }_{2}3+{\log }_2\left(x-1\right)$  

${\log }_2{x}^2={\log }_2\left(3\left(x-1\right)\right)$  

${\log }_2{x}^2={\log }_2\left(3x-3\right)$  

Korzystamy z różnowartościowości funkcji logarytmicznej.

$x^2=3x-3\mid -3x$  

$x^2-3x=-3\mid +3$  

$x^2-3x+3=0$  

Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego.

$\Delta ={\left(-3\right)}^2-4\cdot 1\cdot 3=9-12<0$  

Powyższe równanie nie ma rozwiązań.

Dane liczby nie są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego.

---

b) Liczba logarytmowana musi być dodatnia, więc zakładamy, że:

$x-1>0\wedge x+1>0$  

$x>1\wedge x>-1$  

Zatem:

$x\in \left(1;+\infty \right)$  

Korzystamy ze związku zachodzącego między sąsiednimi wyrazami ciągu arytmetycznego:

${\log }_3\left(x-1\right)=\frac{{\log }_{3}4+{\log }_3\left(x+1\right)}{2}\mid \cdot 2$  

$2{\log }_3\left(x-1\right)={\log }_{3}4+{\log }_3\left(x+1\right)$  

${\log }_3{\left(x-1\right)}^2={\log }_3\left(4\left(x+1\right)\right)$  

${\log }_3\left(x^2-2x+1\right)={\log }_3\left(4x+4\right)$  

Korzystamy z różnowartościowości funkcji logarytmicznej.

$x^2-2x+1=4x+4\mid -4x$  

$x^2-6x+1=4\mid -4$  

$x^2-6x-3=0$  

Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego.

$\Delta ={\left(-6\right)}^2-4\cdot 1\cdot \left(-3\right)=36+12=48$  

Wyznaczamy pierwiastki równania.

$x_1=\frac{-\left(-6\right)-\sqrt{48}}{2\cdot 1}=\frac{6-4\sqrt{3}}{2}=3-2\sqrt{3}\notin \left(1;+\infty \right)$  

$x_2=\frac{-\left(-6\right)+\sqrt{48}}{2\cdot 1}=\frac{6+4\sqrt{3}}{2}=3+2\sqrt{3}$  

Podane liczby są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego dla  $x=3+2\sqrt{3}.$  

---

c) Liczba logarytmowana musi być dodatnia, więc zakładamy, że:

$x-1>0\wedge x+1>0\wedge 2x>0$  

$x>1\wedge x>-1\wedge x>0$  

Zatem:

$x\in \left(1;+\infty \right)$  

Korzystamy ze związku zachodzącego między sąsiednimi wyrazami ciągu arytmetycznego:

$\log \left(x+1\right)=\frac{\log \left(x-1\right)+{\log }_2\left(2x\right)}{2}\mid \cdot 2$  

$2\log \left(x+1\right)=\log \left(x-1\right)+{\log }_2\left(2x\right)$  

$\log {\left(x+1\right)}^2=\log \left(\left(x-1\right)\cdot 2x\right)$  

$\log \left(x^2+2x+1\right)=\log \left(2x^2-2x\right)$  

Korzystamy z różnowartościowości funkcji logarytmicznej.

$x^2+2x+1=2x^2-2x\mid -x^2$  

$2x+1=x^2-2x\mid -2x$  

$1=x^2-4x\mid -1$  

$0=x^2-4x-1$  

Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego.

$\Delta ={\left(-4\right)}^2-4\cdot 1\cdot \left(-1\right)=16+4=20$  

Wyznaczamy pierwiastki równania.

$x_1=\frac{-\left(-4\right)-\sqrt{20}}{2\cdot 1}=\frac{4-2\sqrt{5}}{2}=2-\sqrt{5}\notin \left(1;+\infty \right)$  

$x_2=\frac{-\left(-4\right)+\sqrt{20}}{2\cdot 1}=\frac{4+2\sqrt{5}}{2}=2+\sqrt{5}$  

Podane liczby są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego dla  $x=2+\sqrt{5}.$