$\left(a+b\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\ge 4$  

Zakładamy, że:

$a>0\wedge b>0$  

Przekształcamy równoważnie daną nierówność. 

$\left(a+b\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\ge 4$  

$\left(a+b\right)\left(\frac{b}{ab}+\frac{a}{ab}\right)\ge 4$  

$\left(a+b\right)\cdot \frac{b+a}{ab}\ge 4$  

$\left(a+b\right)\cdot \frac{a+b}{ab}\ge 4$  

$\frac{{\left(a+b\right)}^2}{ab}\ge 4\mid \cdot ab$  

${\left(a+b\right)}^2\ge 4ab$  

$a^2+2ab+b^2\ge 4ab\mid -4ab$  

$a^2-2ab+b^2\ge 0$  

Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat różnicy.

${\left(a-b\right)}^2\ge 0$  

Kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest liczbą nieujemną, więc powyższa nierówność jest prawdziwa dla dowolnych dodatnich liczb rzeczywistych  $a$  i  $b.$  

Co należało dowieść.