a) Przyjmijmy oznaczenia jak na poniższym rysunku.

Obliczamy objętość mniejszego graniastosłupa.

$V_2=18\cdot 12\cdot 8=1728$  

Wyznaczamy skalę podobieństwa graniastosłupa największego do graniastosłupa mniejszego (najdłuższa krawędź wyjściowego graniastosłupa musi być równa 8+x, najkrótsza ma więc długość 12).

$k=\frac{12}{8}=\frac{3}{2}$  

Obliczamy objętość graniastosłupa największego.

$\frac{V_1}{V_2}=k^3$  

$\frac{V_1}{1728}={\left(\frac{3}{2}\right)}^3$  

$\frac{V_1}{1728}=\frac{27}{8}\mid \cdot 1728$

$\left(V_1\right)=5832$  

Obliczamy objętość zacieniowanej bryły.

$V=V_1-V_2=5832-1728=4014$  

---

$\mathbf{V}=4104$  

---

---

b) Przyjmijmy oznaczenia jak na poniższym rysunku.

Obliczamy objętość większego graniastosłupa (jego podstawą jest trójkąt równoboczny, więc skorzystamy ze wzoru na pole trójkąta równobocznego).

$V_1=\frac{3^2\sqrt{3}}{4}\cdot 5=\frac{9\sqrt{3}}{4}\cdot 5=\frac{45\sqrt{3}}{4}$  

Wyznaczamy skalę podobieństwa graniastosłupa większego do graniastosłupa odciętego.

$k=\frac{5}{2}$  

Obliczamy objętość graniastosłupa odciętego.

$\frac{V_1}{V_2}=k^3$  

$\frac{\frac{45\sqrt{3}}{4}}{V_2}={\left(\frac{5}{2}\right)}^3$  

$\frac{\frac{45\sqrt{3}}{4}}{V_2}=\frac{125}{8}$  

Korzystamy z własności proporcji.

$8\cdot \frac{45\sqrt{3}}{4}=125V_2$  

$90\sqrt{3}=125V_2\mid :125$  

$\frac{90\sqrt{3}}{125}=V_2$  

$\frac{18\sqrt{3}}{25}=V_2$  

Obliczamy objętość zacieniowanej bryły.

$V=V_1-V_2=\frac{45\sqrt{3}}{4}-\frac{18\sqrt{3}}{25}=\frac{1125\sqrt{3}}{100}-\frac{72\sqrt{3}}{100}=\frac{1053\sqrt{3}}{100}=10,53\sqrt{3}$  

---

$\mathbf{V}=10,53\sqrt{3}$  

---

---

c) Przyjmijmy oznaczenia jak na poniższym rysunku.

Obliczamy objętość większego graniastosłupa.

$V_1=3\cdot 3\cdot 6=54$  

Wyznaczamy skalę podobieństwa graniastosłupa większego do graniastosłupa mniejszego.

$k=\frac{6}{2}=3$  

Obliczamy objętość graniastosłupa największego.

$\frac{V_1}{V_2}=k^3$  

$\frac{54}{V_2}=3^3$  

$\frac{54}{V_2}=27\mid \cdot V_2$  

$54=27V_2\mid :27$  

$2=V_2$  

Obliczamy objętość zacieniowanej bryły.

$V=V_1-V_2=54-2=52$  

---

$\mathbf{V}=52$  

Uwaga! Odpowiedź podana w książce jest błędna.