a) Przyjmijmy oznaczenia jak na poniższym rysunku. 

Korzystamy ze wzoru na pole trójkąta równobocznego i wyznaczamy długość krawędzi podstawy.

$\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=16\sqrt{3}\mid :\sqrt{3}$  

$\frac{a^2}{4}=16\mid \cdot 4$  

$a^2=64$  

$a=8$  

Odcinek oznaczony literą x stanowi jedną trzecią długości wysokości trójkąta równobocznego o boku długości a, ponieważ punkt przecięcia wysokości w trójkącie równobocznym dzieli odcinki będące wysokościami w stosunku 2:1, licząc od wierzchołka, więc: 

$x=\frac{1}{3}\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{1}{3}\cdot \frac{8\sqrt{3}}{2}=\frac{8\sqrt{3}}{6}=\frac{4\sqrt{3}}{3}$  

Trójkąt o bokach długości x, H, h jest prostokątny równoramienny, stąd:

$H=x=\frac{4\sqrt{3}}{3}$  

$h=x\sqrt{2}=\frac{4\sqrt{3}}{3}\cdot \sqrt{2}=\frac{4\sqrt{6}}{3}$  

Obliczamy objętość ostrosłupa.

$V=\frac{1}{3}\cdot P_p\cdot H=\frac{1}{3}\cdot 16\sqrt{3}\cdot \frac{4\sqrt{3}}{3}=\frac{64}{3}=21\frac{1}{3}$  

Obliczamy pole powierzchni bocznej ostrosłupa.

$P_b=3\cdot \frac{a\cdot h}{2}=3\cdot \frac{8\cdot \frac{4\sqrt{6}}{3}}{2}=3\cdot \frac{\frac{32\sqrt{6}}{3}}{2}=3\cdot \frac{32\sqrt{6}}{6}=\frac{32\sqrt{6}}{2}=16\sqrt{6}$  

Obliczamy pole powierzchni całkowitej ostrosłupa.

$P_c=P_p+P_b=16\sqrt{3}+16\sqrt{6}=16\left(\sqrt{3}+\sqrt{6}\right)$  

---

$\mathbf{V}=21\frac{1}{3},{\mathbf{P}}_{\mathbf{c}}=16\left(\sqrt{3}+\sqrt{6}\right)$     

---

---

b) Przyjmijmy oznaczenia jak na poniższym rysunku.

Odcinek oznaczony literą x jest połową przekątnej kwadratu o boku długości 5, więc:

$x=\frac{1}{2}\cdot 5\sqrt{2}=\frac{5\sqrt{2}}{2}$  

Korzystamy z zależności trygonometrycznych i wyznaczamy długość wysokości ostrosłupa.

$\text{tg}{74}^{\circ }=\frac{H}{x}\mid \cdot x$  

$x\cdot \text{tg}{74}^{\circ }=H$  

Wobec tego:

$H=x\cdot \text{tg}{74}^{\circ }=\frac{5\sqrt{2}}{2}\cdot \text{tg}{74}^{\circ }\approx \frac{5\cdot 1,414}{2}\cdot 3,487=\frac{7,07}{2}\cdot 3,487=3,535\cdot 3,487\approx 12,327$

Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa i wyznaczamy długość wysokości ściany bocznej.

$h^2={\left(\frac{5}{2}\right)}^2+H^2$  

$h^2\approx 6,25+{\left(12,327\right)}^2$  

$h^2\approx 6,25+151,95$  

$h^2\approx 158,2$  

$h\approx 12,58$  

Obliczamy objętość ostrosłupa.

$V=\frac{1}{3}\cdot P_p\cdot H\approx \frac{1}{3}\cdot 5^2\cdot 12,327=\frac{1}{3}\cdot 25\cdot 12,327=102,725\approx 103$  

Obliczamy pole powierzchni całkowitej ostrosłupa.

$P_c=P_p+P_b=5^2+4\cdot \frac{a\cdot h}{2}\approx 25+2\cdot 5\cdot 12,58=25+125,8=150,8\approx 151$  

---

$\mathbf{V}\approx 103,{\mathbf{P}}_{\mathbf{c}}\approx 151$