Przyjmijmy oznaczenia jak na poniższym rysunku.

Przyjmijmy, że styczne przechodzące przez punkt A mają postać:

$y=ax+b$  

Do tych prostych należy punkt A=(7, -1), więc:

$-1=a\cdot 7+b$  

$-1=7a+b\mid -7a$  

$-1-7a=b$  

Proste przechodzące przez punkt A mają postać:

$y=ax-1-7a$  

Równanie prostych zapiszemy w postaci ogólnej.

$y=ax-1-7a\mid -y$  

$0=ax-y-1-7a$  

Punkt S=(0, 0) jest oddalony od tej prostej o √10. Korzystamy ze wzoru na odległość punktu od prostej.

$\frac{\left|a\cdot 0+\left(-1\right)\cdot 0+\left(-1-7a\right)\right|}{\sqrt{a^2+{\left(-1\right)}^2}}=\sqrt{10}$  

$\frac{\left|0+0-1-7a\right|}{\sqrt{a^2+1}}=\sqrt{10}$  

$\frac{\left|-1-7a\right|}{\sqrt{a^2+1}}=\sqrt{10}\mid {\left(\dots \right)}^2$  

$\frac{{\left(-1-7a\right)}^2}{a^2+1}=10$  

$\frac{1+14a+49a^2}{a^2+1}=10\mid \cdot \left(a^2+1\right)$  

$1+14a+49a^2=10a^2+10\mid -10a^2$  

$1+14a+39a^2=10\mid -10$  

$-9+14a+39a^2=0$  

$39a^2+14a-9=0$  

Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego.

${\Delta }_1={14}^2-4\cdot 39\cdot \left(-9\right)=196+1404=1600$  

Wyznaczamy pierwiastki.

$a_1=\frac{-14-\sqrt{1600}}{2\cdot 39}=\frac{-14-40}{78}=\frac{-54}{78}=-\frac{9}{13}$  

$a_2=\frac{-14+\sqrt{1600}}{2\cdot 39}=\frac{-14+40}{78}=\frac{26}{78}=\frac{1}{3}$  

Proste styczne do okręgu przechodzące przez punkt A opisane są równaniami:

$y=-\frac{9}{13}x-1-7\cdot \left(-\frac{9}{13}\right)=-\frac{9}{13}x-\frac{13}{13}+\frac{63}{13}=-\frac{9}{13}x+\frac{50}{13}$  

$y=\frac{1}{3}x-1-7\cdot \frac{1}{3}=\frac{1}{3}x-\frac{3}{3}-\frac{7}{3}=\frac{1}{3}x-\frac{10}{3}$  

Trójkąt ABC jest równoramienny, a bok AB jest jego podstawą. Oznacza to, że punkt C leży na symetralnej boku AB. Na tej symetralnej leży również środek okręgu wpisanego w ten trójkąt.

Iloczyn współczynników kierunkowych prostych prostopadłych wynosi -1. Równanie symetralnej boku AB ma więc postać:

$y=\frac{13}{9}x+b$  

Do tej prostej należy punkt S=(0, 0). Współrzędne tego punktu wstawiamy do powyższego równania i wyznaczamy wyraz wolny b.

$0=\frac{13}{9}\cdot 0+b$  

$0=b$  

Symetralna boku AB dana jest równaniem:

$y=\frac{13}{9}x$  

Wyznaczamy współrzędne punktu C.

$\{\begin{array}{l}y=\frac{1}{3}x-\frac{10}{3}\\ y=\frac{13}{9}x\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}\frac{13}{9}x=\frac{1}{3}x-\frac{10}{3}\mid \cdot 9\\ y=\frac{13}{9}x\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}13x=3x-30\mid -3x\\ y=\frac{13}{9}x\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}10x=-30\mid :10\\ y=\frac{13}{9}x\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x=-3\\ y=\frac{13}{9}x\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x=-3\\ y=\frac{13}{9}\cdot \left(-3\right)\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x=-3\\ y=-\frac{13}{3}\end{array}$  

Zatem:

$C=\left(-3,-\frac{13}{3}\right)$  

Obliczamy długość boku AC.

$\left|AC\right|=\sqrt{{\left(-3-7\right)}^2+{\left(-\frac{13}{3}-\left(-1\right)\right)}^2}=$  

$=\sqrt{{\left(-10\right)}^2+{\left(-\frac{13}{3}+1\right)}^2}=$  

$=\sqrt{100+{\left(-\frac{13}{3}+\frac{3}{3}\right)}^2}=$  

$=\sqrt{100+{\left(-\frac{10}{3}\right)}^2}=$  

$=\sqrt{\frac{900}{9}+\frac{100}{9}}=$  

$=\sqrt{\frac{1000}{9}}=$  

$=\frac{10\sqrt{10}}{3}$  

Wierzchołek B leży na prostej y=-9/13x+50/13, zatem:

$B=\left(x,-\frac{9}{13}x+\frac{50}{13}\right)$  

Boki AC i BC mają taką samą długość, więc:

$\sqrt{{\left(-3-x\right)}^2+{\left(-\frac{13}{3}-\left(-\frac{9}{13}x+\frac{50}{13}\right)\right)}^2}=\frac{10\sqrt{10}}{3}$  

$\sqrt{{\left(-3-x\right)}^2+{\left(-\frac{13}{3}+\frac{9}{13}x-\frac{50}{13}\right)}^2}=\frac{10\sqrt{10}}{3}$  

$\sqrt{{\left(-3-x\right)}^2+{\left(-\frac{169}{39}+\frac{9}{13}x-\frac{150}{39}\right)}^2}=\frac{10\sqrt{10}}{3}$  

$\sqrt{{\left(-3-x\right)}^2+{\left(\frac{9}{13}x-\frac{319}{39}\right)}^2}=\frac{10\sqrt{10}}{3}\mid {\left(\dots \right)}^2$  

${\left(-3-x\right)}^2+{\left(\frac{9}{13}x-\frac{319}{39}\right)}^2=\frac{1000}{9}$  

$9+6x+x^2+\frac{81}{169}{x}^2-\frac{1914}{169}x+\frac{101761}{1521}=\frac{1000}{9}$  

$\frac{13689}{1521}+\frac{1014}{169}x+\frac{169}{169}{x}^2+\frac{81}{169}{x}^2-\frac{1914}{169}x+\frac{101761}{1521}=\frac{1000}{9}$  

$\frac{250}{169}{x}^2-\frac{900}{169}x+\frac{115450}{1521}=\frac{169000}{1521}\mid -\frac{169000}{1521}$  

$\frac{250}{169}{x}^2-\frac{900}{169}x-\frac{53550}{1521}=0\mid :50$  

$\frac{250}{169}{x}^2-\frac{900}{169}x-\frac{5950}{169}=0\mid :50$  

$\frac{5}{169}{x}^2-\frac{18}{169}x-\frac{119}{169}=0\mid \cdot 169$  

$5x^2-18x-119=0$  

Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego.

${\Delta }_2={\left(-18\right)}^2-4\cdot 5\cdot \left(-119\right)=324+2380=2704$  

Wyznaczamy pierwiastki.

$x_1=\frac{-\left(-18\right)-\sqrt{2704}}{2\cdot 5}=\frac{18-52}{10}=\frac{-34}{10}=-\frac{17}{5}$  

$x_2=\frac{-\left(-18\right)+\sqrt{2704}}{2\cdot 5}=\frac{18+52}{10}=\frac{70}{10}=7$  

Odrzucamy drugą odpowiedź, ponieważ jest to pierwsza współrzędna punktu A. 

Wyznaczamy drugą współrzędną punktu B.

$y=-\frac{9}{13}\cdot \left(-\frac{17}{5}\right)+\frac{50}{13}=\frac{153}{65}+\frac{250}{65}=\frac{403}{65}=\frac{31}{5}$  

Zatem:

$B=\left(-\frac{17}{5},\frac{31}{5}\right)$  

Wierzchołki B i C mają współrzędne:

$B=\left(-\frac{17}{5},\frac{31}{5}\right),C=\left(-3,-\frac{13}{3}\right)$