Mamy dwie możliwości. Obie zaznaczone zostały na poniższym rysunku.

Punkty P₁ i P₂ są jednakowo odległe od punktów A i B oraz od prostej o równaniu x+y+1=0. Punkty równoodległe od końców odcinka leżą na symetralnej tego odcinka. Symetralną odcinka AB jest prosta x=2. Szukane punkty leżą na prostej x=2, a więc ich współrzędne mają postać:

$\left(2,y\right)$  

Wyznaczamy odległość punktu o współrzędnych (2, y) od prostej o równaniu x+y+1=0.

$\frac{\left|1\cdot 2+1\cdot y+1\right|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\frac{\left|2+y+1\right|}{\sqrt{1+1}}=\frac{\left|3+y\right|}{\sqrt{2}}$  

Wyznaczamy długość odcinka o końcach w punktach A=(1, 1) i (2, y).

$\sqrt{{\left(2-1\right)}^2+{\left(y-1\right)}^2}=\sqrt{1^2+y^2-2y+1}=\sqrt{1+y^2-2y+1}=\sqrt{y^2-2y+2}$  

Wobec tego:

$\frac{\left|3+y\right|}{\sqrt{2}}=\sqrt{y^2-2y+2}$  

${\left(\frac{\left|3+y\right|}{\sqrt{2}}\right)}^2={\left(\sqrt{y^2-2y+2}\right)}^2$  

$\frac{{\left(3+y\right)}^2}{{\left(\sqrt{2}\right)}^2}=y^2-2y+2$  

$\frac{9+6y+y^2}{2}=y^2-2y+2\mid \cdot 2$  

$y^2+6y+9=2y^2-4y+4\mid -y^2$  

$6y+9=y^2-4y+4\mid -6y$  

$9=y^2-10y+4\mid -9$  

$0=y^2-10y-5$  

Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego.

$\Delta ={\left(-10\right)}^2-4\cdot 1\cdot \left(-5\right)=100+20=120$  

Wyznaczamy pierwiastki równania.

$x_1=\frac{-\left(-10\right)-\sqrt{120}}{2\cdot 1}=\frac{10-2\sqrt{30}}{2}=5-\sqrt{30}$  

$x_2=\frac{-\left(-10\right)+\sqrt{120}}{2\cdot 1}=\frac{10+2\sqrt{30}}{2}=5+\sqrt{30}$  

Zatem:

$P_1=\left(2,5-\sqrt{30}\right)$  

$P_2=\left(2,5+\sqrt{30}\right)$