a) Obliczamy odległość między punktami

$\left|AB\right|=\sqrt{{\left(1-\left(-2\right)\right)}^2+{\left(-1-\left(-5\right)\right)}^2}=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$

$\left|BC\right|=\sqrt{{\left(7-1\right)}^2+{\left(7-\left(-1\right)\right)}^2}=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10$

$\left|CA\right|=\sqrt{{\left(-2-7\right)}^2+{\left(-5-7\right)}^2}=\sqrt{{\left(-9\right)}^2+{\left(-12\right)}^2}=\sqrt{81+144}=\sqrt{225}=15$    

Sprawdzamy czy są współliniowe szukając prostej przechodzącej przez dwa punkty i sprawdzając czy trzeci punkt na niej leży.

$AB:y=ax+b$  

$\{\begin{array}{l}-5=-2a+b\\ -1=a+b\mid -a\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}-5=-2a+b\\ b=-1-a\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}-5=-2a-1-a\mid +1\\ b=-1-a\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}-4=-3a\mid :\left(-3\right)\\ b=-1-a\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}a=\frac{4}{3}\\ b=-1-a\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}a=\frac{4}{3}\\ b=-1-\frac{4}{3}\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}a=\frac{4}{3}\\ b=-\frac{7}{3}\end{array}$  

$AB:y=\frac{4}{3}x-\frac{7}{3}$  

Sprawdzamy czy C leży na tej prostej

$7=\frac{4}{3}\cdot 7-\frac{7}{3}$  

$7=\frac{28}{3}-\frac{7}{3}$  

$7=\frac{21}{3}$  

$7=7$

Tak, punkty są współliniowe. 

---

b) Obliczamy odległość między punktami

$\left|AB\right|=\sqrt{{\left(-2-1\right)}^2+{\left(-11-\left(-2\right)\right)}^2}=\sqrt{{\left(-3\right)}^2+{\left(-9\right)}^2}=\sqrt{9+81}=\sqrt{90}=3\sqrt{10}$

$\left|BC\right|=\sqrt{{\left(3-\left(-2\right)\right)}^2+{\left(2-\left(-11\right)\right)}^2}=\sqrt{5^2+{13}^2}=\sqrt{25+169}=\sqrt{194}$

$\left|CA\right|=\sqrt{{\left(1-3\right)}^2+{\left(-2-2\right)}^2}=\sqrt{{\left(-2\right)}^2+{\left(-4\right)}^2}=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$    

Sprawdzamy czy są współliniowe szukając prostej przechodzącej przez dwa punkty i sprawdzając czy trzeci punkt na niej leży.

$AB:y=ax+b$  

$\{\begin{array}{l}-2=a+b\\ -11=-2a+b\mid +2a\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}-2=a+b\\ b=-11+2a\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}-2=a-11+2a\mid +11\\ b=-11+2a\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}9=3a\mid :3\\ b=-11+2a\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}a=6\\ b=-11+2a\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}a=6\\ b=-11+2\cdot 6\end{array}$

$\{\begin{array}{l}a=6\\ b=1\end{array}$

$AB:y=6x+1$  

Sprawdzamy czy C leży na tej prostej

$2=6\cdot 3+1$  

$2=18+1$  

$2=19$  

Sprzeczność.

Punkty nie są współliniowe.