Rysunek poglądowy

Zauważmy, że pole rombu możemy policzyć sumując pola takich samych trójkątów które powstają po podzieleniu rombu narysowaną przekątną. Mamy

$P=2\cdot \frac{1}{2}\cdot a\cdot a\cdot \sin \alpha$  

Skorzystajmy z twierdzenia cosinusów

$e^2=a^2+a^2-2a^2\cos \alpha$  

$e^2=2a^2-2a^2\cos \alpha$  

$e^2=2a^2\left(1-\cos \alpha \right)$  

$2a^2=\frac{e^2}{1-\cos \alpha }$  

$a^2=\frac{e^2}{2\left(1-\cos \alpha \right)}$  

Zatem

$P=a^2\sin \alpha =\frac{e^2}{2\left(1-\cos \alpha \right)}\sin \alpha =\frac{e^2}{2}\cdot \frac{\sin \alpha }{1-\cos \alpha }$  

Wyrażenie które mamy oznacza, że jest to jedna z odpowiedzi B lub D. Sprawdzimy która.

$\frac{\sin \alpha }{1-\cos \alpha }=\frac{2\sin \frac{\alpha }{2}\cos \frac{\alpha }{2}}{1-{\cos }^2\frac{\alpha }{2}+{\sin }^2\frac{\alpha }{2}}=\frac{2\sin \frac{\alpha }{2}\cos \frac{\alpha }{2}}{{\cos }^2\frac{\alpha }{2}+{\sin }^2\frac{\alpha }{2}-{\cos }^2\frac{\alpha }{2}+{\sin }^2\frac{\alpha }{2}}=\frac{2\sin \frac{\alpha }{2}\cos \frac{\alpha }{2}}{2{\sin }^2\frac{\alpha }{2}}=\frac{\cos \frac{\alpha }{2}}{\sin \frac{\alpha }{2}}=\frac{1}{\text{tg}\frac{\alpha }{2}}$  

Zatem

$P=\frac{e^2}{2}\cdot \frac{1}{\text{tg}\frac{\alpha }{2}}=\frac{e^2}{2\text{tg}\frac{\alpha }{2}}$  

---

Prawidłowa odpowiedź to D.