a) Mamy

$\frac{1}{2}\cos \alpha -{\sin }^2\alpha -{\cos }^2\alpha =\frac{1}{2}\cos \alpha -\left({\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha \right)=\frac{1}{2}\cos \alpha -1$  

Stąd wartości

$-1\le \cos \alpha \le 1$  

$-\frac{1}{2}\le \frac{1}{2}\cos \alpha \le \frac{1}{2}$  

$-\frac{3}{2}\le \frac{1}{2}\cos \alpha -1\le -\frac{1}{2}$  

Największa wartość

$-\frac{1}{2}$  

Najmniejsza wartość

$-\frac{3}{2}$  

---

b) Mamy

$2-3{\sin }^2\alpha +4{\cos }^2\alpha =2-3\left(1-{\cos }^2\alpha \right)+4{\cos }^2\alpha =2-3+3{\cos }^2\alpha +4{\cos }^2\alpha =7{\cos }^2\alpha -1$  

Stąd wartości

$-1\le \cos \alpha \le 1$  

$0\le {\cos }^2\alpha \le 1$  

$0\le 7{\cos }^2\alpha \le 7$  

$-1\le 7{\cos }^2\alpha -1\le 6$  

Największa wartość

$6$  

Najmniejsza wartość

$-1$  

---

c) Mamy

${\left(1+\sin \alpha \right)}^2+{\cos }^2\alpha =1+2\sin \alpha +{\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1+2\sin \alpha +1=2\sin \alpha +2$  

Stąd wartości

$-1\le \sin \alpha \le 1$  

$-2\le 2\sin \alpha \le 2$  

$0\le 2\sin \alpha +2\le 4$   

Największa wartość

$4$  

Najmniejsza wartość

$-0$  

---

d) Mamy

$\left|\cos \alpha \left(2-\cos \alpha \right)-{\sin }^2\alpha \right|=\left|2\cos \alpha -{\cos }^2\alpha -{\sin }^2\alpha \right|=\left|2\cos \alpha -\left({\cos }^2\alpha +{\sin }^2\alpha \right)\right|=\left|2\cos \alpha -1\right|$  

Stąd wartości

$-1\le \cos \alpha \le 1$  

$-2\le 2\cos \alpha \le 2$  

$-3\le 2\sin \alpha -1\le 1$   

$0\le \left|2\sin \alpha -1\right|\le 3$  

Największa wartość

$3$  

Najmniejsza wartość

$-0$