a) Dziedziną wyrażenia wymiernego jest zbiór tych liczb rzeczywistych, dla których mianownik ułamka jest różny od 0 (w zbiorze liczb rzeczywistych dzielenie przez 0 jest niewykonalne). Stąd otrzymujemy, że: 

$2x-1\ne 0$  

$2x\ne 1$  

$x\ne \frac{1}{2}$  

Zatem:

$x\in \mathbb{R}\text{}\left\{\frac{1}{2}\right\}$  

---

b) Dziedziną wyrażenia wymiernego jest zbiór tych liczb rzeczywistych, dla których mianownik ułamka jest różny od 0 (w zbiorze liczb rzeczywistych dzielenie przez 0 jest niewykonalne). Stąd otrzymujemy, że: 

$\left(x-4\right)\left(3x+4\right)\ne 0$  

Iloczyn dwóch liczb jest różny od 0, gdy żadna z tych liczb nie jest równa 0.

$x-4\ne 0\wedge 3x+4\ne 0$  

$x\ne 4\wedge 3x\ne -4$  

$x\ne 4\wedge x\ne -\frac{4}{3}$  

Zatem:

$x\in \mathbb{R}\text{}\left\{-\frac{4}{3},4\right\}$  

---

c) Dziedziną wyrażenia wymiernego jest zbiór tych liczb rzeczywistych, dla których mianownik ułamka jest różny od 0 (w zbiorze liczb rzeczywistych dzielenie przez 0 jest niewykonalne). Stąd otrzymujemy, że: 

${\left(x+5\right)}^2\left(5-2x\right)\ne 0$  

Iloczyn dwóch liczb jest różny od 0, gdy żadna z tych liczb nie jest równa 0.

${\left(x+5\right)}^2\ne 0\wedge 5-2x\ne 0$  

$x+5\ne 0\wedge -2x\ne -5$  

$x\ne -5\wedge x\ne \frac{5}{2}$  

Zatem:

$x\in \mathbb{R}\text{}\left\{-5,\frac{5}{2}\right\}$  

---

d) Dziedziną wyrażenia wymiernego jest zbiór tych liczb rzeczywistych, dla których mianownik ułamka jest różny od 0 (w zbiorze liczb rzeczywistych dzielenie przez 0 jest niewykonalne). Stąd otrzymujemy, że: 

$x^2-3\ne 0$  

$x^2\ne 3$  

$\left|x\right|\ne \sqrt{3}$  

$x\ne \sqrt{3}\wedge x\ne -\sqrt{3}$  

Zatem:

$x\in \mathbb{R}\text{}\left\{-\sqrt{3},\sqrt{3}\right\}$  

---

e) Dziedziną wyrażenia wymiernego jest zbiór tych liczb rzeczywistych, dla których mianownik ułamka jest różny od 0 (w zbiorze liczb rzeczywistych dzielenie przez 0 jest niewykonalne). Stąd otrzymujemy, że: 

$9x^2-25\ne 0$  

$9x^2\ne 25$  

$x^2\ne \frac{25}{9}$  

$\left|x\right|\ne \frac{5}{3}$  

$x\ne \frac{5}{3}\wedge x\ne -\frac{5}{3}$  

Zatem:

$x\in \mathbb{R}\text{}\left\{-\frac{5}{3},\frac{5}{3}\right\}$  

---

f) Dziedziną wyrażenia wymiernego jest zbiór tych liczb rzeczywistych, dla których mianownik ułamka jest różny od 0 (w zbiorze liczb rzeczywistych dzielenie przez 0 jest niewykonalne). Stąd otrzymujemy, że: 

$x^2-4x\ne 0$  

$x\left(x-4\right)\ne 0$  

Iloczyn dwóch liczb jest różny od 0, gdy żadna z tych liczb nie jest równa 0.

$x\ne 0\wedge x-4\ne 0$  

$x\ne 0\wedge x\ne 4$  

Zatem:

$x\in \mathbb{R}\text{}\left\{0,4\right\}$  

---

g) Dziedziną wyrażenia wymiernego jest zbiór tych liczb rzeczywistych, dla których mianownik ułamka jest różny od 0 (w zbiorze liczb rzeczywistych dzielenie przez 0 jest niewykonalne). Stąd otrzymujemy, że: 

$2x^2+5x\ne 0$  

$x\left(2x+5\right)\ne 0$  

Iloczyn dwóch liczb jest różny od 0, gdy żadna z tych liczb nie jest równa 0.

$x\ne 0\wedge 2x+5\ne 0$  

$x\ne 0\wedge 2x\ne -5$  

$x\ne 0\wedge x\ne -\frac{5}{2}$  

Zatem:

$x\in \mathbb{R}\text{}\left\{-\frac{5}{2},0\right\}$  

---

h) Dziedziną wyrażenia wymiernego jest zbiór tych liczb rzeczywistych, dla których mianownik ułamka jest różny od 0 (w zbiorze liczb rzeczywistych dzielenie przez 0 jest niewykonalne). Stąd otrzymujemy, że: 

$x^2+4\ne 0$  

Kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest liczbą nieujemną, więc liczba  $x^2$  jest nieujemna. Suma liczby nieujemnej i liczby 4 jest liczbą dodatnią. Oznacza to, że wyrażenie  $x^2+4$  nie przyjmie wartości 0 dla żadnej liczby rzeczywistej  $x.$  

Zatem:

$x\in \mathbb{R}$  

---

i) Dziedziną wyrażenia wymiernego jest zbiór tych liczb rzeczywistych, dla których mianownik ułamka jest różny od 0 (w zbiorze liczb rzeczywistych dzielenie przez 0 jest niewykonalne). Stąd otrzymujemy, że: 

$2x^2-3x-2\ne 0$  

Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego.

$\Delta ={\left(-3\right)}^2-4\cdot 2\cdot \left(-2\right)=9+16=25$  

Wyznaczamy pierwiastki równania  $2x^2-3x-2=0.$  

$x_1=\frac{-\left(-3\right)-\sqrt{25}}{2\cdot 2}=\frac{3-5}{4}=\frac{-2}{4}=-\frac{1}{2}$  

$x_2=\frac{-\left(-3\right)+\sqrt{25}}{2\cdot 2}=\frac{3+5}{4}=\frac{8}{4}=2$  

Zatem:

$x\in \mathbb{R}\text{}\left\{-\frac{1}{2},2\right\}$  

---

j) Dziedziną wyrażenia wymiernego jest zbiór tych liczb rzeczywistych, dla których mianownik ułamka jest różny od 0 (w zbiorze liczb rzeczywistych dzielenie przez 0 jest niewykonalne). Stąd otrzymujemy, że: 

$x^2+3x+5\ne 0$  

Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego.

$\Delta =3^2-4\cdot 1\cdot 5=9-20=-11<0$  

Równanie  $x^2+3x+5=0$  nie ma rozwiązań rzeczywistych.

Zatem:

$x\in \mathbb{R}$  

---

k) Dziedziną wyrażenia wymiernego jest zbiór tych liczb rzeczywistych, dla których mianownik ułamka jest różny od 0 (w zbiorze liczb rzeczywistych dzielenie przez 0 jest niewykonalne). Stąd otrzymujemy, że: 

$x^3-27x\ne 0$  

$x\left(x^2-27\right)\ne 0$  

Iloczyn dwóch liczb jest różny od 0, gdy żadna z tych liczb nie jest równa 0.

$x\ne 0\wedge x^2-27\ne 0$  

$x\ne 0\wedge x^2\ne 27$  

$x\ne 0\wedge \left|x\right|\ne \sqrt{27}$  

$x\ne 0\wedge \left|x\right|\ne 3\sqrt{3}$  

$x\ne 0\wedge x\ne 3\sqrt{3}\wedge x\ne -3\sqrt{3}$  

Zatem:

$x\in \mathbb{R}\text{}\left\{-3\sqrt{3},0,3\sqrt{3}\right\}$  

---

l) Dziedziną wyrażenia wymiernego jest zbiór tych liczb rzeczywistych, dla których mianownik ułamka jest różny od 0 (w zbiorze liczb rzeczywistych dzielenie przez 0 jest niewykonalne). Stąd otrzymujemy, że: 

$x^3-x^2-2x+2\ne 0$  

$x^2\left(x-1\right)-2\left(x-1\right)\ne 0$  

$\left(x-1\right)\left(x^2-2\right)\ne 0$  

Iloczyn dwóch liczb jest różny od 0, gdy żadna z tych liczb nie jest równa 0.

$x-1\ne 0\wedge x^2-2\ne 0$  

$x\ne 1\wedge x^2\ne 2$  

$x\ne 1\wedge \left|x\right|\ne \sqrt{2}$  

$x\ne 1\wedge x\ne \sqrt{2}\wedge x\ne -\sqrt{2}$  

Zatem:

$x\in \mathbb{R}\text{}\left\{-\sqrt{2},1,\sqrt{2}\right\}$