a) $\alpha ={76}^{\circ }$

Wyznaczamy długość odcinka oznaczonego literą x.

$x=\frac{1}{2}\cdot 5=2,5$

Korzystamy z zależności trygonometrycznych.

$\frac{H}{x}=\text{tg}{76}^{\circ }$

$H=\text{tg}{76}^{\circ }\cdot \mathbf{x}$

$H\approx 4,01\cdot 2,5\approx 10,03$

Wyznaczamy objętość ostrosłupa.

$V\approx \frac{1}{3}\cdot 5^2\cdot 10,03=\frac{1}{3}\cdot 25\cdot 10,03\approx 83,58$

---

b) Przyjmijmy oznaczenia jak na poniższym rysunku.

$\alpha ={83}^{\circ }$

Odcinek oznaczony literą z stanowi jedną trzecią długości wysokości trójkąta równobocznego o boku długości 3, ponieważ punkt przecięcia wysokości w trójkącie równobocznym dzieli odcinki będące wysokościami w stosunku 2:1, licząc od wierzchołka, więc:

$\mathbf{z}=\frac{1}{3}\cdot \frac{3\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$

Korzystamy z zależności trygonometrycznych.

$\frac{\mathbf{H}}{\mathbf{z}}=\text{tg}{83}^{\circ }$

$\mathbf{H}=\mathbf{z}\cdot \text{tg}{83}^{\circ }$

$\mathbf{H}\approx \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot 8,14\approx 7,05$

Wyznaczamy objętość ostrosłupa.

$V\approx \frac{1}{3}\cdot \frac{3^2\cdot \sqrt{3}}{4}\cdot 7,05\approx \frac{1}{3}\cdot \frac{9\cdot 1,73}{4}\cdot 7,05\approx 9,15$

---

c) Przyjmijmy oznaczenia jak na poniższym rysunku.

$\alpha ={68}^{\circ }$

Dłuższe przekątnej sześciokąta foremnego dzielą go na 6 przystających trójkątów równobocznych. Połowa krótszej przekątnej sześciokąta foremnego jest wysokością jednego takiego trójkąta równobocznego. Stąd otrzymujemy, że:

$\mathbf{x}=\frac{\mathbf{a}\sqrt{3}}{2}\Rightarrow \mathbf{a}=\frac{2\sqrt{3}\mathbf{x}}{3}$

Korzystamy z zależności trygonometrycznych.

$\frac{4}{\mathbf{x}}=\text{tg}{68}^{\circ }$

$\mathbf{x}=\frac{4}{\text{tg}{68}^{\circ }}\approx \frac{4}{2,48}=1,6$

$\mathbf{a}=\frac{2\sqrt{3}\mathbf{x}}{3}\approx \frac{2\cdot 1,73\cdot 1,6}{3}\approx 1,85$

Wyznaczamy objętość ostrosłupa.

$V\approx \frac{1}{3}\cdot 6\cdot \frac{{1,85}^2\cdot \sqrt{3}}{4}\cdot 4\approx 3,42\cdot 1,73\cdot 2\approx 11,83$