a) $\alpha ={50}^{\circ }$

Wyznaczamy długość przekątnej podstawy graniastosłupa. Korzystamy ze wzoru na długość przekątnej kwadratu.

$x=4\sqrt{2}$

$y=\frac{1}{2}\mathbf{x}=\frac{1}{2}\cdot 4\sqrt{2}=2\sqrt{2}$

Korzystamy z zależności trygonometrycznych.

$\frac{H}{y}=\text{tg}{50}^{\circ }$

$H=\text{tg}{50}^{\circ }\cdot \mathbf{y}$

$H\approx 1,19\cdot 2\sqrt{2}\approx 3,37$

Wyznaczamy objętość ostrosłupa.

$V\approx \frac{1}{3}\cdot 4^2\cdot 3,37=\frac{1}{3}\cdot 16\cdot 3,37\approx 17,97$

---

b) Przyjmijmy oznaczenia jak na poniższym rysunku.

$\alpha ={80}^{\circ }$

Wyznaczamy długość odcinka oznaczonego literą x. Korzystamy ze wzoru na długość wysokości trójkąta równobocznego.

$\mathbf{x}=\frac{\mathbf{a}\sqrt{3}}{2}$

$\mathbf{y}=\frac{2}{3}\cdot \frac{\mathbf{a}\sqrt{3}}{2}=\frac{\mathbf{a}\sqrt{3}}{3}\Rightarrow \mathbf{a}=\sqrt{3}\mathbf{y}$

Korzystamy z zależności trygonometrycznych.

$\frac{\mathbf{H}}{6}=\sin {80}^{\circ }\Rightarrow \mathbf{H}=6\cdot \sin {80}^{\circ }\approx 6\cdot 0,98=5,88$

$\frac{\mathbf{y}}{6}=\cos {80}^{\circ }\Rightarrow \mathbf{y}=6\cdot \cos {80}^{\circ }\approx 6\cdot 0,17=1,02$

$\mathbf{a}\approx \sqrt{3}\cdot 1,02\approx 1,77$

Wyznaczamy objętość ostrosłupa.

$V\approx \frac{1}{3}\cdot \frac{{1,77}^2\cdot \sqrt{3}}{4}\cdot 5,88\approx \frac{1}{3}\cdot \frac{3,13\cdot 1,73}{4}\cdot 5,88\approx 2,65$

---

c) Przyjmijmy oznaczenia jak na poniższym rysunku.

$\alpha ={56}^{\circ }$

Dłuższe przekątnej sześciokąta foremnego dzielą go na 6 przystających trójkątów równobocznych. Stąd otrzymujemy, że:

$\mathbf{x}=\mathbf{a}$

Korzystamy z zależności trygonometrycznych.

$\frac{\mathbf{H}}{6}=\sin {56}^{\circ }\Rightarrow \mathbf{H}=6\cdot \sin {56}^{\circ }\approx 6\cdot 0,83=4,98$

$\frac{\mathbf{x}}{6}=\cos {56}^{\circ }\Rightarrow \mathbf{x}=6\cdot \cos {56}^{\circ }\approx 6\cdot 0,56=3,36$

$\mathbf{a}=\mathbf{x}\approx 3,36$

Wyznaczamy objętość ostrosłupa.

$V\approx \frac{1}{3}\cdot 6\cdot \frac{{3,36}^2\cdot \sqrt{3}}{4}\cdot 4,98\approx \frac{11,3\cdot 1,73}{2}\cdot 4,98\approx 48,68$