Czworokąt A'B'C'D' jest podobny do czworokąta ...- Zadanie 6: Matematyka z plusem 3. Ćwiczenia podstawowe

Rozwiązanie

Uzupełniamy tabelkę.

$k$	$∣ A B ∣$	$∣ B C ∣$	$∣ ∢ B ∣$	$∣ ∢ C ∣$	$∣ ∢ D ∣$	$∣ A^{'} B^{'} ∣$	$∣ B^{'} C^{'} ∣$	$∣ ∢ B^{'} ∣$	$∣ ∢ C^{'} ∣$	$∣ ∢ A^{'} ∣$
$5$	$2, 1$	$3, 2$	$20^{\circ}$	$75^{\circ}$	$130^{\circ}$	$10, 5$	$16$	$20^{\circ}$	$75^{\circ}$	$135^{\circ}$
$\frac{1}{10}$	$70$	$19$	$65^{\circ}$	$82^{\circ}$	$113^{\circ}$	$7$	$1, 9$	$65^{\circ}$	$82^{\circ}$	$100^{\circ}$
$\frac{2}{3}$	$9$	$15$	$93^{\circ}$	$81^{\circ}$	$124^{\circ}$	$6$	$10$	$93^{\circ}$	$81^{\circ}$	$62^{\circ}$
$\frac{5}{4}$	$4$	$4 \frac{4}{5}$	$112^{\circ}$	$103^{\circ}$	$130^{\circ}$	$5$	$6$	$112^{\circ}$	$103^{\circ}$	$15^{\circ}$
$2$	$12, 5$	$22, 5$	$65^{\circ}$	$110^{\circ}$	$150^{\circ}$	$25$	$45$	$65^{\circ}$	$110^{\circ}$	$35^{\circ}$
$\frac{1}{5}$	$10$	$15$	$56^{\circ}$	$64^{\circ}$	$110^{\circ}$	$2$	$3$	$56^{\circ}$	$64^{\circ}$	$130^{\circ}$

Obliczenia:

2 wiersz:

Czworokąt $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ jest podobny do czworokąta $A B C D$ w skali $k = 5,$ więc boki wielokąta $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ są 5 razy dłuższe od odpowiadających im boków wielokąta $A B C D .$ Stąd:
$∣ A^{'} B^{'} ∣ = 5 \cdot ∣ A B ∣ = 5 \cdot 2, 1 = 10, 5$
$∣ B^{'} C^{'} ∣ = 5 \cdot ∣ B C ∣ = 5 \cdot 3, 2 = 16$

W wielokątach podobnych odpowiadające kąty mają równe miary, więc:
$∣ ∢ B^{'} ∣ = ∣ ∢ B ∣ = 20^{\circ}$
$∣ ∢ C^{'} ∣ = ∣ ∢ C ∣ = 75^{\circ}$
$∣ ∢ D^{'} ∣ = ∣ ∢ D ∣ = 130^{\circ}$
Obliczamy miarę kąta przy wierzchołku $A .$
$∣ ∢ A ∣ = 360^{\circ} - (∣ ∢ B ∣ + ∣ ∢ C ∣ + ∣ ∢ D ∣) = 360^{\circ} - (20^{\circ} + 75^{\circ} + 130^{\circ}) = 360^{\circ} - 225^{\circ} = 135^{\circ}$
Wobec tego:
$∣ ∢ A^{'} ∣ = ∣ ∢ A ∣ = 135^{\circ}$
3 wiersz:

Czworokąt $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ jest podobny do czworokąta $A B C D$ w skali $k = \frac{1}{10},$ więc boki wielokąta $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ są 10 razy krótsze od odpowiadających im boków wielokąta $A B C D .$ Stąd:
$∣ A B ∣ = 10 \cdot ∣ A^{'} B^{'} ∣ = 10 \cdot 7 = 70$
$∣ B^{'} C^{'} ∣ = \frac{1}{10} \cdot ∣ B C ∣ = \frac{1}{10} \cdot 19 = 1, 9$

W wielokątach podobnych odpowiadające kąty mają równe miary, więc:
$∣ ∢ B ∣ = ∣ ∢ B^{'} ∣ = 65^{\circ}$
$∣ ∢ C ∣ = ∣ ∢ C^{'} ∣ = 82^{\circ}$
Obliczamy miarę kąta przy wierzchołku $D^{'} .$
$∣ ∢ D^{'} ∣ = 360^{\circ} - (∣ ∢ A^{'} ∣ + ∣ ∢ B^{'} ∣ + ∣ ∢ C^{'} ∣) = 360^{\circ} - (65^{\circ} + 82^{\circ} + 100^{\circ}) = 360^{\circ} - 247^{\circ} = 113^{\circ}$
Wobec tego:
$∣ ∢ D ∣ = ∣ ∢ D^{'} ∣ = 113^{\circ}$
4 wiersz:

Wyznaczamy skalę podobieństwa wielokąta $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ do wielokąta $A B C D .$
$k = \frac{∣ A ^{'} B ^{'} ∣}{∣ A B ∣} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$

Czworokąt $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ jest podobny do czworokąta $A B C D$ w skali $k = \frac{2}{3},$ więc boki wielokąta $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ stanowią $\frac{2}{3}$ długości odpowiadających im boków wielokąta $A B C D .$ Stąd:
$∣ B^{'} C^{'} ∣ = \frac{2}{3} \cdot ∣ B C ∣ = \frac{2}{3} \cdot 15 = 10$
$∣ B^{'} C^{'} ∣ = \frac{1}{10} \cdot ∣ B C ∣ = \frac{1}{10} \cdot 19 = 1, 9$

W wielokątach podobnych odpowiadające kąty mają równe miary, więc:
$∣ ∢ B^{'} ∣ = ∣ ∢ B ∣ = 93^{\circ}$
$∣ ∢ C^{'} ∣ = ∣ ∢ C ∣ = 81^{\circ}$
Obliczamy miarę kąta przy wierzchołku $A .$
$∣ ∢ A ∣ = 360^{\circ} - (∣ ∢ B ∣ + ∣ ∢ C ∣ + ∣ ∢ D ∣) = 360^{\circ} - (93^{\circ} + 81^{\circ} + 124^{\circ}) = 360^{\circ} - 298^{\circ} = 62^{\circ}$
Wobec tego:
$∣ ∢ A^{'} ∣ = ∣ ∢ A ∣ = 62^{\circ}$
5 wiersz:

Wyznaczamy skalę podobieństwa wielokąta $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ do wielokąta $A B C D .$
$k = \frac{∣ A ^{'} B ^{'} ∣}{∣ A B ∣} = \frac{5}{3} = 4$

Czworokąt $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ jest podobny do czworokąta $A B C D$ w skali $k = \frac{5}{4},$ więc boki wielokąta $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ stanowią $\frac{5}{4}$ długości odpowiadających im boków wielokąta $A B C D .$ Stąd:
$∣ B^{'} C^{'} ∣ = \frac{5}{4} \cdot ∣ B C ∣ \Rightarrow ∣ B C ∣ = \frac{4}{5} \cdot ∣ B^{'} C^{'} ∣ = \frac{4}{5} \cdot 6 = \frac{24}{5} = 4 \frac{4}{5}$

W wielokątach podobnych odpowiadające kąty mają równe miary, więc:
$∣ ∢ B^{'} ∣ = ∣ ∢ B ∣ = 93^{\circ}$
$∣ ∢ C^{'} ∣ = ∣ ∢ C ∣ = 81^{\circ}$
Obliczamy miarę kąta przy wierzchołku $D^{'} .$
$∣ ∢ D^{'} ∣ = 360^{\circ} - (∣ ∢ A^{'} ∣ + ∣ ∢ B^{'} ∣ + ∣ ∢ C^{'} ∣) = 360^{\circ} - (112^{\circ} + 103^{\circ} + 15^{\circ}) = 360^{\circ} - 230^{\circ} = 130^{\circ}$
Wobec tego:
$∣ ∢ D ∣ = ∣ ∢ D^{'} ∣ = 130^{\circ}$
6 wiersz:

Czworokąt $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ jest podobny do czworokąta $A B C D$ w skali $k = 2,$ więc boki wielokąta $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ są 2 razy dłuższe od odpowiadających im boków wielokąta $A B C D .$ Stąd:
$∣ A^{'} B^{'} ∣ = 2 \cdot ∣ A B ∣ \Rightarrow ∣ A B ∣ = \frac{1}{2} \cdot ∣ A^{'} B^{'} ∣ = \frac{1}{2} \cdot 25 = 12, 5$
$∣ B^{'} C^{'} ∣ = 2 \cdot ∣ B C ∣ \Rightarrow ∣ B C ∣ = \frac{1}{2} \cdot ∣ B^{'} C^{'} ∣ = \frac{1}{2} \cdot 45 = 22, 5$

W wielokątach podobnych odpowiadające kąty mają równe miary, więc:
$∣ ∢ B^{'} ∣ = ∣ ∢ B ∣ = 65^{\circ}$
$∣ ∢ C^{'} ∣ = ∣ ∢ C ∣ = 110^{\circ}$
Obliczamy miarę kąta przy wierzchołku $A .$
$∣ ∢ A ∣ = 360^{\circ} - (∣ ∢ B ∣ + ∣ ∢ C ∣ + ∣ ∢ D ∣) = 360^{\circ} - (65^{\circ} + 110^{\circ} + 150^{\circ}) = 360^{\circ} - 325^{\circ} = 35^{\circ}$
Wobec tego:
$∣ ∢ A^{'} ∣ = ∣ ∢ A ∣ = 35^{\circ}$
7 wiersz:

Wyznaczamy skalę podobieństwa wielokąta $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ do wielokąta $A B C D .$
$k = \frac{∣ B ^{'} C ^{'} ∣}{∣ B C ∣} = \frac{3}{15} = \frac{1}{5}$

Czworokąt $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ jest podobny do czworokąta $A B C D$ w skali $k = \frac{1}{5},$ więc boki wielokąta $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ są 5 razy krótsze od odpowiadających im boków wielokąta $A B C D .$ Stąd:
$∣ A^{'} B^{'} ∣ = \frac{1}{5} \cdot ∣ A B ∣ = \frac{1}{5} \cdot 10 = 2$

W wielokątach podobnych odpowiadające kąty mają równe miary, więc:
$∣ ∢ B ∣ = ∣ ∢ B^{'} ∣ = 56^{\circ}$
$∣ ∢ C ∣ = ∣ ∢ C^{'} ∣ = 64^{\circ}$
Obliczamy miarę kąta przy wierzchołku $D^{'} .$
$∣ ∢ D^{'} ∣ = 360^{\circ} - (∣ ∢ A^{'} ∣ + ∣ ∢ B^{'} ∣ + ∣ ∢ C^{'} ∣) = 360^{\circ} - (56^{\circ} + 64^{\circ} + 130^{\circ}) = 360^{\circ} - 250^{\circ} = 110^{\circ}$
Wobec tego:
$∣ ∢ D ∣ = ∣ ∢ D^{'} ∣ = 110^{\circ}$