a) Dziedziną nierówności jest zbiór liczb rzeczywistych. Podstawiamy x/3=t i rozwiązujemy nierówność dla zmiennej t.

$\sin t\le 0$  

Z wykresu odczytujemy, że rozwiązaniem nierówności są wszystkie liczby spełniające warunek:

$-\pi +2k\pi \le t\le 0+2k\pi ,k\in \mathbf{Z}$  

Wracamy z podstawieniem do zmiennej x.

$-\pi +2k\pi \le \frac{x}{3}\le 0+2k\pi \mid \cdot 3$  

$-3\pi +6k\pi \le x\le 6k\pi ,k\in \mathbf{Z}$  

$x\in ⟨-3\pi +6k\pi ,6k\pi ⟩,k\in \mathbf{Z}$  

---

b) Dziedziną nierówności jest zbiór liczb rzeczywistych. Podstawiamy 2x=t i rozwiązujemy nierówność dla zmiennej t.

$\cos t<-\frac{1}{2}$  

Z wykresu odczytujemy, że rozwiązaniem nierówności są wszystkie liczby spełniające warunek:

$\frac{2}{3}\pi +2k\pi <t<\frac{4}{3}\pi +2k\pi ,k\in \mathbf{Z}$  

Wracamy z podstawieniem do zmiennej x.

$\frac{2}{3}\pi +2k\pi <2x<\frac{4}{3}\pi +2k\pi \mid :2$  

$\frac{\pi }{3}+k\pi <x<\frac{2}{3}\pi +k\pi ,k\in \mathbf{Z}$  

$x\in \left(\frac{\pi }{3}+k\pi ,\frac{2}{3}\pi +k\pi \right),k\in \mathbf{Z}$  

---

c) Wyznaczamy dziedzinę nierówności:

$6x-\frac{\pi }{3}\ne \frac{\pi }{2}+k\pi$  

$6x\ne \frac{5}{6}\pi +k\pi \mid :6$  

$x\ne \frac{5}{36}\pi +k\frac{\pi }{6}$  

Podstawiamy 6x-π/3=t i rozwiązujemy nierówność dla zmiennej t.

$\text{tg}\mathrm{tg}t0$  

Z wykresu odczytujemy, że rozwiązaniem nierówności są wszystkie liczby spełniające warunek:

$0+k\pi <t<\frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbf{Z}$  

Wracamy z podstawieniem do zmiennej x.

$0+k\pi <6x-\frac{\pi }{3}<\frac{\pi }{2}+k\pi \mid +\frac{\pi }{3}$  

$\frac{\pi }{3}+k\pi <6x<\frac{5}{6}\pi +k\pi \mid :6$  

$\frac{\pi }{18}+k\frac{\pi }{6}<x<\frac{5}{36}\pi +k\frac{\pi }{6},k\in \mathbf{Z}$  

$x\in \left(\frac{\pi }{18}+k\frac{\pi }{6},\frac{5}{36}\pi +k\frac{\pi }{6}\right),k\in \mathbf{Z}$  

---

d) Dziedziną nierówności jest zbiór liczb rzeczywistych.  Podstawiamy $\frac{x+3\pi }{4}=t$ i rozwiązujemy nierówność dla zmiennej t.

$2\cos \mathrm{tg}e\sqrt{3}:2$  

$\cos \mathrm{tg}e\frac{\sqrt{3}}{2}$  

Z wykresu odczytujemy, że rozwiązaniem nierówności są wszystkie liczby spełniające warunek:

$-\frac{\pi }{6}+2k\pi \le t\le \frac{\pi }{6}+2k\pi ,k\in \mathbf{Z}$  

Wracamy z podstawieniem do zmiennej x.

$-\frac{\pi }{6}+2k\pi \le \frac{x+3\pi }{4}\le \frac{\pi }{6}+2k\pi \mid \cdot 4$  

$-\frac{2}{3}\pi +8k\pi \le x+3\pi \le \frac{2}{3}\pi +8k\pi \mid -3\pi$  

$-3\frac{2}{3}\pi +8k\pi \le x\le -2\frac{1}{3}\pi +8k\pi$  

$-\frac{11}{3}\pi +8k\pi \le x\le -\frac{7}{3}\pi +8k\pi ,k\in \mathbf{Z}$  

$x\in ⟨-\frac{11}{3}\pi +8k,-\frac{7}{3}\pi +8k\pi ⟩,k\in \mathbf{Z}$