$\text{a)}$  

$x^2+\frac{4}{x}=10,x\in ⟨2,3⟩$  

$x^2+\frac{4}{x}-10=0$  

$x^3+4-10x=0$  

$x^3-10x+4=0$  

Oznaczmy:

$W\left(x\right)=x^3-10x+4$  

 

Zauważmy, że:

$W\left(2\right)=2^3-10\cdot 2+4=8-20+4=-8$  

$W\left(3\right)=3^3-10\cdot 3+4=27-30+4=1$  

Wielomian jest funkcją ciągłą i na końcach przedziału ⟨2, 3〉 przyjmuje wartości o przeciwnych znakach.

Na mocy tw. o przyjmowaniu wartości pośrednich wiemy, że w przedziale (2, 3) istnieje co najmniej jeden pierwiastek tego wielomianu, czyli pokazaliśmy, że równanie ma co najmniej jedno rozwiązanie w przedziale ⟨2, 3〉.

---

$\text{b)}$  

$x^3-2x^2+x+1=0,x\in ⟨-1,0⟩$  

Oznaczmy:

$W\left(x\right)=x^3-2x^2+x+1$  

 

Zauważmy, że:

$W\left(-1\right)={\left(-1\right)}^3-2\cdot {\left(-1\right)}^2+\left(-1\right)+1=-1-2=-3$  

$W\left(0\right)=0^3-2\cdot 0^2+0+1=1$  

Wielomian jest funkcją ciągłą i na końcach przedziału ⟨-1, 0〉 przyjmuje wartości o przeciwnych znakach.

Na mocy tw. o przyjmowaniu wartości pośrednich wiemy, że w przedziale (-1, 0) istnieje co najmniej jeden pierwiastek tego wielomianu, czyli pokazaliśmy, że równanie ma co najmniej jedno rozwiązanie w przedziale ⟨-1, 0〉.