Mamy trzy liczby

$a_1=x-r,a_2=x,a_3=x+r$

Tworzą one ciąg arytmetyczny. Po zmianie otrzymujemy ciąg geometryczny.

$b_1=x-r-1,b_2=x,b_3=x+r+5$  

Z treści zadania wiemy, że

$a_1+a_2+a_3=24$  

$x-r+x+x+r=24$  

$3x=24\mid :3$  

$x=8=a_2$

Stąd mamy jedną z trzech liczb. Teraz skorzystamy z własności ciągu geometrycznego

$b_2^2=b_1\cdot b_3$  

$x^2=\left(x-r-1\right)\cdot \left(x+r+5\right)$  

$8^2=\left(8-r-1\right)\cdot \left(8+r+5\right)$  

$64=\left(7-r\right)\cdot \left(r+13\right)$  

$64=7r+91-r^2-13r\mid -64$  

$-r^2-6r+27=0$  

${\Delta }_r={\left(-6\right)}^2-4\cdot \left(-1\right)\cdot 27=36+108=144,\sqrt{{\Delta }_r}=12$  

$r=\frac{6-12}{-2}=\frac{-6}{-2}=3\vee r=\frac{6+12}{-2}=\frac{18}{-2}=-9$  

Stąd

$\text{Dla }r=3:a_1=5,a_2=8,a_3=11$  

$\text{Dla }r=-9:a_1=17,a_2=8,a_3=-1$