a)

Z treści zadania wiemy, że

$A\left(-3,0\right),B\left(0,1\right),C\left(1,4\right),D\left(-2,3\right)$

 

Zaznaczmy punkty w układzie współrzędnych

 

 

---

Wiemy, że romb ma wszystkie boki tej samej długości zatem wystarczy obliczyć drugość jednego z boków. 

$\left|AB\right|=\sqrt{{\left(0-\left(-3\right)\right)}^2+{\left(1-0\right)}^2}=\sqrt{9+1}=\sqrt{10}$  

 

Zatem długość boku rombu ABCD jest równa √10.  

Możemy teraz obliczyć obwód rombu ABCD. 

$\text{Obw\_{ABCD}}=4\sqrt{10}$  

---

Obliczmy długość przekątnej AC.

$\left|AC\right|=\sqrt{{\left(1-\left(-3\right)\right)}^2+{\left(4-0\right)}^2}=\sqrt{4^2+4^2}=\sqrt{16+16}=\sqrt{32}=4\sqrt{2}$  

---

Obliczmy długość przekątnej DB.

$\left|DB\right|=\sqrt{{\left(0-\left(-2\right)\right)}^2+{\left(1-3\right)}^2}=\sqrt{4+4}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$  

---

Obliczmy wysokość DG rombu ABCD.

Wiemy, że prosta DG jest prostopadła do prostej AB.

• Wyznaczmy równanie prostej AB:

$\{\begin{array}{l}0=a\cdot \left(-3\right)+b\\ 1=a\cdot 0+b\end{array}$  

$b=1$

$0=-3a+1\iff a=\frac{1}{3}$   

$\{\begin{array}{l}b=1\\ a=\frac{1}{3}\end{array}$  

$AB:y=\frac{1}{3}x+1$  

 

• Wyznaczmy równanie prostej DG

Skoro prosta DG jest prostopadła do prostej AB, to możemy wyznaczyć współczynnik kierunkowy prostej DG.

$a_{DG}=-3$

Prosta DG przechodzi przez punkt D, zatem

$3=-2\cdot \left(-3\right)+b$

$b=-3$

$DG:y=-3x-3$     

 

• Wyznaczmy współrzędne punktu G.

Punkt G jest punktem przecięcia prostej AB i prostej DG, zatem rozwiążmy układ równań

$\{\begin{array}{l}y=\frac{1}{3}x+1\\ y=-3x-3\end{array}$  

$\frac{1}{3}x+1=-3x-3\mid -1+3x$

$3\frac{1}{3}x=-4\mid \cdot \frac{3}{10}$   

$x=-4\cdot \frac{3}{10}=-\frac{6}{5}$  

zatem

$y=-3x-3=-3\cdot \left(-\frac{6}{5}\right)-3=\frac{18}{5}-\frac{15}{5}=\frac{3}{5}$

$G\left(-\frac{6}{5},\frac{3}{5}\right)$   

 

Teraz możemy obliczyć wysokość DG rombu ABCD

$\left|DG\right|=\sqrt{{\left(-\frac{6}{5}-\left(-2\right)\right)}^2+{\left(\frac{3}{5}-3\right)}^2}=\sqrt{{\left(-\frac{6}{5}+2\right)}^2+{\left(\frac{3}{5}-\frac{15}{5}\right)}^2}=$

$=\sqrt{{\left(\frac{4}{5}\right)}^2+{\left(-\frac{12}{5}\right)}^2}=\sqrt{\frac{16}{25}+\frac{144}{25}}=\sqrt{\frac{160}{25}}=\frac{\sqrt{160}}{5}=\frac{4\sqrt{10}}{5}$   

---

b)

Z treści zadania wiemy, że

$A\left(-5,-2\right),B\left(2,-1\right),C\left(7,4\right),D\left(0,3\right)$

 

Zaznaczmy punkty w układzie współrzędnych

 

 

---

Wiemy, że romb ma wszystkie boki tej samej długości zatem wystarczy obliczyć drugość jednego z boków. 

$\left|AB\right|=\sqrt{{\left(2-\left(-5\right)\right)}^2+{\left(-1-\left(-2\right)\right)}^2}=\sqrt{49+1}=\sqrt{50}=5\sqrt{2}$  

 

Zatem długość boku rombu ABCD jest równa 5√2.  

Możemy teraz obliczyć obwód rombu ABCD. 

$\text{Obw\_{ABCD}}=4\cdot 5\sqrt{2}=20\sqrt{2}$  

---

Obliczmy długość przekątnej AC.

$\left|AC\right|=\sqrt{{\left(7-\left(-5\right)\right)}^2+{\left(4-\left(-2\right)\right)}^2}=\sqrt{{12}^2+6^2}=\sqrt{144+36}=\sqrt{180}=6\sqrt{5}$  

---

Obliczmy długość przekątnej DB.

$\left|DB\right|=\sqrt{{\left(0-2\right)}^2+{\left(-1-3\right)}^2}=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$  

---

Obliczmy wysokość DG rombu ABCD.

Wiemy, że prosta DG jest prostopadła do prostej AB.

• Wyznaczmy równanie prostej AB:

$\{\begin{array}{l}-2=a\cdot \left(-5\right)+b\\ -1=a\cdot 2+b\end{array}$  

Odejmijmy stronami równania

 

$-1=-7a$

$a=\frac{1}{7}$  

 

$-1=2a+b$   

$-1=2\cdot \frac{1}{7}+b$

$-1=\frac{2}{7}+b\mid -\frac{2}{7}$

$b=-\frac{9}{7}$    

 

$\{\begin{array}{l}b=-\frac{9}{7}\\ a=\frac{1}{7}\end{array}$  

$AB:y=\frac{1}{7}x-\frac{9}{7}$  

 

• Wyznaczmy równanie prostej DG

Skoro prosta DG jest prostopadła do prostej AB, to możemy wyznaczyć współczynnik kierunkowy prostej DG.

$a_{DG}=-7$

Prosta DG przechodzi przez punkt D, zatem

$3=-7\cdot 0+b$

$b=3$

$DG:y=-7x+3$     

 

• Wyznaczmy współrzędne punktu G.

Punkt G jest punktem przecięcia prostej AB i prostej DG, zatem rozwiążmy układ równań

$\{\begin{array}{l}y=\frac{1}{7}x-\frac{9}{7}\\ y=-7x+3\end{array}$  

$\frac{1}{7}x-\frac{9}{7}=-7x+3\mid +\frac{9}{7}+7x$

$\frac{50}{7}x=\frac{30}{7}\mid \cdot \frac{7}{50}$   

$x=\frac{30}{7}\cdot \frac{7}{50}=\frac{3}{5}$  

zatem

$y=-7x+3=-7\cdot \frac{3}{5}+3=-\frac{21}{5}+3=-\frac{21}{5}+\frac{15}{5}=-\frac{6}{5}$

$G\left(\frac{3}{5},-\frac{6}{5}\right)$   

 

Teraz możemy obliczyć wysokość DG rombu ABCD

$\left|DG\right|=\sqrt{{\left(\frac{3}{5}-0\right)}^2+{\left(-\frac{6}{5}-3\right)}^2}=\sqrt{{\left(\frac{3}{5}\right)}^2+{\left(-\frac{21}{5}\right)}^2}=$

$=\sqrt{\frac{9}{25}+\frac{441}{25}}=\sqrt{\frac{450}{25}}=\frac{\sqrt{450}}{5}=\frac{15\sqrt{2}}{5}=3\sqrt{2}$