Udowodnij podane obok tożsamości trygonometryczne...- Zadanie 7: MATeMAtyka 3. Zakres podstawowy i rozszerzony

Rozwiązanie

$tg (α + β) = \frac{tg α + tg β}{1 - tg α tg β}$

Rozpiszmy lewą stronę równania

$L = tg (α + β) = \frac{sin ( α + β )}{cos ( α + β )} = \frac{sin α cos β + cos α sin β}{cos α cos β - sin α sin β} = \frac{\frac{s i n α c o s β + c o s α s i n β}{c o s α c o s β}}{\frac{c o s α c o s β - s i n α s i n β}{c o s α c o s β}} =$

$= \frac{\frac{s i n α c o s β}{c o s α c o s β} + \frac{c o s α s i n β}{c o s α c o s β}}{\frac{c o s α c o s β}{c o s α c o s β} - \frac{s i n α s i n β}{c o s α c o s β}} = \frac{\frac{s i n α}{c o s α} + \frac{s i n β}{c o s β}}{1 - tg α tg β} = \frac{tg α + tg β}{1 - tg α tg β} = P$

co kończy dowód.

$tg (α - β) = \frac{tg α - tg β}{1 + tg α tg β}$

Rozpiszmy lewą stronę równania

$L = tg (α - β) = \frac{sin ( α - β )}{cos ( α - β )} = \frac{sin α cos β - cos α sin β}{cos α cos β + sin α sin β} = \frac{\frac{s i n α c o s β - c o s α s i n β}{c o s α c o s β}}{\frac{c o s α c o s β + s i n α s i n β}{c o s α c o s β}} =$

$= \frac{\frac{s i n α c o s β}{c o s α c o s β} - \frac{c o s α s i n β}{c o s α c o s β}}{\frac{c o s α c o s β}{c o s α c o s β} + \frac{s i n α s i n β}{c o s α c o s β}} = \frac{\frac{s i n α}{c o s α} - \frac{s i n β}{c o s β}}{1 + tg α tg β} = \frac{tg α - tg β}{1 + tg α tg β} = P$