Założenia:

$\sphericalangle ABC={60}^{\circ }$

$\left|AB\right|=2\sqrt{3}\left[\text{cm}\right]$    

Teza:

$S=2\pi r_1+2\pi r_2+2\pi r_3+2\pi r_4>18,6\left[\text{cm}\right]$  

---

Dowód:

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku poniżej:

Niech I będzie środkiem najmniejszego okręgu, a H punktem styczności

tego okręgu z półprostą BC.

$\left|HI\right|=r_4$  

Odcinek BS₁ jest dwusieczną kąta ABC 

$\sphericalangle CB{S}_1={60}^{\circ }:2={30}^{\circ }$   

Możemy zauważyć, że trójkąty: 

$△BC{S}_1,△BDE,△BGF,△BHI$  

są podobne na podstawie cechy kąt-kąt-kąt.

Trójkąty podobne, to trójkąty o mierze kątów: 

${30}^{\circ },{60}^{\circ },{90}^{\circ }$  

Skoro:

$\left|AB\right|=\left|BC\right|=2\sqrt{3}\left[\text{cm}\right]$

to korzystając z własności trójkąta 30, 60, 90, dostajemy: 

$r_1=2\left[\text{cm}\right]$

$\left|B{S}_1\right|=4\left[\text{cm}\right]$   

---

Skoro:

$△BC{S}_1\text{~}△BGF$  

to dostajemy stosunek długości boków:

$\frac{r_1}{r_3}=\frac{\left|B{S}_1\right|}{\left|BF\right|}$

$\frac{2}{r_3}=\frac{4}{\left|B{S}_1\right|-r_1-r_2}$

Rozwiązujemy powyższe równanie i dostajemy:

$\frac{2}{r_2}=\frac{4}{4-2-r_2}$

$4r_2=2\left(2-r_2\right)$     

$4r_2=4-2r_2$  

$6r_2=4\mid :6$

$r_2=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$   

---

Skoro:

$△BC{S}_1\text{~}△BDE$  

to dostajemy stosunek długości boków:

$\frac{r_1}{r_2}=\frac{\left|B{S}_1\right|}{\left|BE\right|}$

$\frac{2}{r_3}=\frac{4}{\left|B{S}_1\right|-r_1-2r_2-r_3}$

Rozwiązujemy powyższe równanie i dostajemy:

$\frac{2}{r_3}=\frac{4}{4-2-\frac{4}{3}-r_3}$

$4r_3=2\left(2-\frac{4}{3}-r_3\right)$     

$4r_3=4-\frac{8}{3}-2r_3$  

$4r_3=4-2\frac{2}{3}-2r_3$

$4r_3=1\frac{1}{3}-2r_3\mid +2r_3$   

$6r_3=\frac{4}{3}\mid :6$  

$r_3=\frac{4}{18}=\frac{2}{9}$  

---

Skoro:

$△BC{S}_1\text{~}△BHI$  

to dostajemy stosunek długości boków:

$\frac{r_1}{r_4}=\frac{\left|B{S}_1\right|}{\left|BI\right|}$

$\frac{2}{r_4}=\frac{4}{\left|B{S}_1\right|-r_1-2r_2-2r_3-r_4}$

Rozwiązujemy powyższe równanie i dostajemy:

$\frac{2}{r_4}=\frac{4}{4-2-\frac{4}{3}-\frac{4}{9}-r_4}$

$4r_4=2\left(2-\frac{4}{3}-\frac{4}{9}-r_4\right)$     

$4r_4=4-\frac{8}{3}-\frac{8}{9}-2r_4$  

$4r_4=4-\frac{32}{9}-2r_4$

$4r_4=4-3\frac{5}{9}-2r_4\mid +2r_4$   

$6r_4=\frac{4}{9}\mid :6$  

$r_4=\frac{4}{54}=\frac{2}{27}$  

---

Suma długości okręgów:

$S=2\pi r_1+2\pi r_2+2\pi r_3+2\pi r_4=$

$=2\pi \cdot 2+2\pi \cdot \frac{2}{3}+2\pi \cdot \frac{2}{9}+2\pi \cdot \frac{2}{27}=$   

$=4\pi +\frac{4}{3}\pi +\frac{4}{9}\pi +\frac{4}{27}\pi =$

$=4\pi +\frac{36}{27}\pi +\frac{12}{27}\pi +\frac{4}{27}\pi =$   

$=4\pi +\frac{52}{27}\pi =4\frac{52}{27}\pi =\frac{160}{27}\pi \approx 18,62>18,6\left[\text{cm}\right]$  

co należało wykazać.

---

Obliczamy sumę pól kół ograniczonych tymi okręgami.

$\pi r_1^2+\pi r_2^2+\pi r_3^2+\pi r_4^2=$

$=\pi \cdot 2^2+\pi \cdot {\left(\frac{2}{3}\right)}^2+\pi \cdot {\left(\frac{2}{9}\right)}^2+\pi \cdot {\left(\frac{2}{27}\right)}^2=$

$=4\pi +\frac{4}{9}\pi +\frac{4}{81}\pi +\frac{4}{729}\pi =$    

$=\frac{2916}{729}\pi +\frac{324}{729}\pi +\frac{36}{729}\pi +\frac{4}{729}\pi =$

$=\frac{3280}{729}\pi =4\frac{364}{729}\pi \left[{\text{cm}}^2\right]$