a)

Należy udowodnić, że 

$6\mid n^3-n,n\in \mathbb{N}$

1. Sprawdzamy podzielność dla n=0

$n^3-n=0^3-0=0$  

Widzimy, że:

$6\mid 0$  

2. Zakładamy, że:

$6\mid k^3-k,k\in \mathbb{N}$

Korzystając z założenia, pokażemy, że:

$6\mid {\left(k+1\right)}^3-\left(k+1\right)$

Z założenia wynika istnienie liczby całkowitej a takiej, że:

$k^3-k=6a$    

Wtedy: 

${\left(k+1\right)}^3-\left(k+1\right)=k^3+3k^2+3k+1-k-1=$

$=\left(k^3-k\right)+3k^2+3k=6a+3k^2+3k=6a+3k\left(k+1\right)$   

Zauważamy, że:

$2\mid k\left(k+1\right)$  

zatem:

$6\mid 3k\left(k+1\right)$

 Wobec tego:

$6\mid {\left(k+1\right)}^3-\left(k+1\right)$  

Na podstawie powyższego wnioskujemy, że

$6\mid n^3-n,n\in {\mathbb{N}}_{}$  

---

---

b)

Należy udowodnić, że  

$3\mid n^3+2n,n\in \mathbb{N}$

1. Sprawdzamy podzielność dla n=0

$n^3+2n=0^3+2\cdot 0=0$  

Widzimy, że:

$3\mid 0$  

2. Zakładamy, że:

$3\mid k^3+2k,k\in \mathbb{N}$

Korzystając z założenia, pokażemy, że:

$3\mid {\left(k+1\right)}^3+2\left(k+1\right)$

Z założenia wynika istnienie liczby całkowitej a takiej, że:

$k^3+2k=3a$    

Wtedy:

${\left(k+1\right)}^3+2\left(k+1\right)=k^3+3k^2+3k+1+2k+2=$

$=\left(k^3+2k\right)+3k^2+3k+3=3a+3k^2+3k+3=3\left(a+k^2+k+1\right)$   

Liczba:

${\left(k+1\right)}^3+2\left(k+1\right)$  

jest podzielna przez 3.

Zatem dla dowolnego n ∈ N:

$3\mid n^3+2n$  

---

---

c)

Należy udowodnić, że 

$6\mid n^3+11n,n\in \mathbb{N}$

1. Sprawdzamy podzielność dla n=0

$n^3+11n=0^3+11\cdot 0=0$  

Widzimy, że:

$6\mid 0$  

2. Zakładamy, że:

$6\mid k^3+11k,k\in \mathbb{N}$

Korzystając z założenia, pokażemy, że:

$6\mid {\left(k+1\right)}^3+11\left(k+1\right)$

Z założenia wynika istnienie liczby całkowitej a takiej, że:

$k^3+11k=6a$    

Wtedy:

${\left(k+1\right)}^3+11\left(k+1\right)=k^3+3k^2+3k+1+11k+11=$

$=\left(k^3+11k\right)+3k^2+3k+12=6a+3k^2+3k+12=$   

$=6\left(a+2\right)+3k\left(k+1\right)$  

Zauważamy, że

$2\mid k\left(k+1\right)$  

więc

$6\left|3k\left(k+1\right)\text{i}6\right|6\left(a+2\right)$  

Zatem liczba:

${\left(k+1\right)}^3+11\left(k+1\right))$  

jest podzielna przez 6.

Zatem dla dowolnego n ∈ N:

$6\mid n^3+11n$  

---

---

d)

Należy udowodnić, że 

$30\mid n^5-n,n\in \mathbb{N}$

1. Sprawdzamy podzielność dla n=0

$n^5-n=0^5-0=0$  

Widzimy, że:

$30\mid 0$  

2. Zakładamy, że:

$30\mid k^5-k,k\in \mathbb{N}$

Korzystając z założenia, pokażemy, że:

$30\mid {\left(k+1\right)}^5-\left(k+1\right)$

Z założenia wynika istnienie liczby całkowitej a takiej, że:

$k^5-k=30a$    

Wtedy:

${\left(k+1\right)}^5-\left(k+1\right)=\left(k+1\right)\left({\left(k+1\right)}^4-1\right)=$  

$=\left(k+1\right)\left({\left(k+1\right)}^2-1\right)\left({\left(k+1\right)}^2+1\right)=$   

$=\left(k+1\right)\left(k^2+2k+1-1\right)\left(k^2+2k+1+1\right)=$  

$=\left(k+1\right)\left(k^2+2k\right)\left(k^2+2k+2\right)=$

$=\left(k+1\right)\left(k^4+2k^3+2k^2+2k^3+4k^2+4k\right)=$   

$=\left(k+1\right)\left(k^4+4k^3+6k^2+4k\right)=$

$=k^5+4k^4+6k^3+4k^2+k^4+4k^3+6k^2+4k=$   

$=k^5+5k^4+10k^3+10k^2+4k=$  

$=k^5+5k^4+10k^3+10k^2+5k-k=$

$=30a+5k^4+10k^3+10k^2+5k=$   

$=30a+5k\left(k^3+2k^2+2k+1\right)=$

$=30a+5k\left(k+1\right)\left(k^2+k+1\right)$   

Zauważamy, że

$2\mid k\left(k+1\right)$  

więc

$10\mid 5k\left(k+1\right)$

Jeśli żadna z liczb: k, k+1 nie jest podzielna przez 3, to:

$k=3m+1,m\in {\mathbb{N}}_{+}$   

oraz

$k^2+k+1={\left(3m+1\right)}^2+3m+1+1=9m^2+6m+1+3m+2=$

$=9m^2+9m+3=3\left(3m^2+3m+1\right)$   

Zatem:

$30\mid 5k\left(k+1\right)\left(k^2+k+1\right)$  

Wnioskujemy, że dla dowolnego n ∈ N:

$30\mid n^5-n$  

---

---

e)

Należy udowodnić, że 

$12\mid {10}^n-4,n\ge 2$

1. Sprawdzamy podzielność dla n=2

${10}^2-4=100-4=96$  

Widzimy, że:

$12\mid 12\cdot 8=96$  

2. Zakładamy, że:

$12\mid {10}^k-4,k\ge 2$

Korzystając z założenia, pokażemy, że:

$12\mid {10}^{k+1}-4$

Z założenia wynika istnienie liczby całkowitej a takiej, że:

${10}^k-4=12a$    

${10}^k=12a+4$  

Wtedy:

${10}^{k+1}-4={10}^k\cdot 10-4=$

$=2\left({10}^k\cdot 5-2\right)=2\left(\left(12a+4\right)\cdot 5-2\right)=$

$=2\left(60a+20-2\right)=2\left(60a+18\right)=12\left(10a+3\right)$    

Zauważamy, że:

$12\mid 12\left(10a+3\right)$  

zatem:

$12\mid {10}^{k+1}-4$

Na podstawie powyższego wnioskujemy, że

$12\mid {10}^n-4,n\ge 2$  

---

---

f)

Należy udowodnić, że 

$9\mid 4^n+15n-1,n\in {\mathbb{N}}_{}$

1. Sprawdzamy podzielność dla n=0

$4^0+15\cdot 0-1=1-1=0$  

Widzimy, że:

$9\mid 0$  

2. Zakładamy, że:

$9\mid 4^k+15k-1,k\in {\mathbb{N}}_{+}$

Korzystając z założenia, pokażemy, że:

$9\mid 4^{k+1}+15\left(k+1\right)-1$

Z założenia wynika istnienie liczby całkowitej a takiej, że:

$4^k+15k-1=9a$    

$4^k=9a-15k+1$  

Wtedy:

$4^{k+1}+15\left(k+1\right)-1=$

$=4^k\cdot 4+15k+15-1=$

$=\left(9a-15k+1\right)\cdot 4+15k+15-1=$    

$=36a-60k+4+15k+14=$

$=36a-45k+18=9\left(4a-5k+2\right)$   

Zauważamy, że:

$9\mid 9\left(4a-5k+2\right)$  

zatem:

$9\mid 4^{k+1}+15\left(k+1\right)-1$

Na podstawie powyższego wnioskujemy, że

$9\mid 4^n+15n-1,n\in {\mathbb{N}}_{}$  

---

---

g)

Należy udowodnić, że 

$9\mid 7^n+3n-1,n\in {\mathbb{N}}_{}$

1. Sprawdzamy podzielność dla n=0

$7^0+3\cdot 0-1=1-1=0$  

Widzimy, że:

$9\mid 0$  

2. Zakładamy, że:

$9\mid 7^k+3k-1,k\in {\mathbb{N}}_{+}$

Korzystając z założenia, pokażemy, że:

$9\mid 7^{k+1}+3\left(k+1\right)-1$

Z założenia wynika istnienie liczby całkowitej a takiej, że:

$7^k+3k-1=9a$    

$7^k=9a-3k+1$  

Wtedy:

$7^{k+1}+3\left(k+1\right)-1=$

$=7^k\cdot 7+3k+3-1=$

$=\left(9a-3k+1\right)\cdot 7+3k+3-1=$    

$=63a-21k+7+3k+2=$

$=63a-18k+9=9\left(7a-2k+1\right)$   

Zauważamy, że:

$9\mid 9\left(7a-2k+1\right)$  

zatem:

$9\mid 7^{k+1}+3\left(k+1\right)-1$

Na podstawie powyższego wnioskujemy, że

$9\mid 7^n+3n-1,n\in {\mathbb{N}}_{}$  

---

---

h)

Należy udowodnić, że 

$6\mid {10}^n+4^n-2,n\in {\mathbb{N}}_{}$

1. Sprawdzamy podzielność dla n=0

${10}^0+4^0-2=1+1-2=0$  

Widzimy, że:

$6\mid 0$  

2. Zakładamy, że:

$6\mid {10}^k+4^k-2,k\in {\mathbb{N}}_{+}$

Korzystając z założenia, pokażemy, że:

$6\mid {10}^{k+1}+4^{k+1}-2$

Z założenia wynika istnienie liczby całkowitej a takiej, że:

${10}^k+4^k-2=6a$    

${10}^k=6a-4^k+2$  

Wtedy:

${10}^{k+1}+4^{k+1}-2=$

$={10}^k\cdot 10+4^k\cdot 4-2=$

$=\left(6a-4^k+2\right)\cdot 10+4^k\cdot 4-2=$    

$=60a-4^k\cdot 10+20+4^k\cdot 4-2=$

$=60a-4^k\cdot 6+18=6\left(10a-4^k+3\right)$   

Zauważamy, że:

$6\mid 6\left(10a-4^k+3\right)$  

zatem:

$6\mid {10}^{k+1}+4^{k+1}-2$

Na podstawie powyższego wnioskujemy, że

$6\mid {10}^n+4^n-2,n\in {\mathbb{N}}_{}$