Z treści zadania wiemy, że

$a_n={0,9}^n,n\in {\mathbb{N}}_{+}$

Sprawdzamy, dla jakich n spełniona jest nierówność:

$\left|a_n-0\right|<\frac{1}{10}$   

Wobec tego wstawiamy w miejsce a_n wzór ciągu i dostajemy:

$\left|{0,9}^n-0\right|<\frac{1}{10}$

$\left|{0,9}^n\right|<\frac{1}{10}$

Wyrażenie w module jest dodatnie, wobec tego:

${0,9}^n<0,1$

---

Zauważamy, że

${0,9}^{21}\approx 0,109$

${0,9}^{22}\approx 0,098<0,1$   

---

Ciąg (a_n) jest malejący. Zatem:

$\left|a_n-0\right|<0,1\text{dla}n\ge 22$