a)

Z treści zadania wiemy, że ciąg (a₁, a₂, a₃) jest ciągiem arytmetycznym, gdzie:

$a_1+a_2+a_3=21$  

Natomiast ciąg:

$\left(a_1,a_2-1,a_3+6\right)$  

jest ciągiem geometrycznym.

---

Zapisujemy kolejne wyrazy ciągu arytmetycznego przy pomocy wzoru ogólnego ciągu arytmetycznego:

$a_1,\underset{=a_2}{\underbrace{a_1+r}},\underset{a_3}{\underbrace{a_1+2r}}$  

Wiemy, że 

$a_1+a_2+a_3=a_1+a_1+r+a_1+2r=3a_1+3r=21$

Pamiętamy, że pomiędzy sąsiednimi wyrazami w ciągu geometrycznym zachodzi zależność:

${\left(a_2-1\right)}^2=a_1\cdot \left(a_3+6\right)$

Wobec tego:

${\left(a_1+r-1\right)}^2=a_1\cdot \left(a_1+2r+6\right)$  

Zatem, aby wyznaczyć wartości poszczególnych wyrazów tego ciągu rozwiązujemy układ równań:

$\{\begin{array}{l}3a_1+3r=21\\ {\left(a_1+r-1\right)}^2=a_1\cdot \left(a_1+2r+6\right)\end{array}$   

$\{\begin{array}{l}3\left(a_1+r\right)=21\mid :3\\ {\left(a_1+r-1\right)}^2=a_1\cdot \left(a_1+2r+6\right)\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}{a}_1+r=7\mid -a_1\\ {\left(a_1+r-1\right)}^2=a_1\cdot \left(a_1+2r+6\right)\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}r=7-a_1\\ {\left(a_1+r-1\right)}^2=a_1\cdot \left(a_1+2r+6\right)\end{array}$  

Podstawiamy wartość różnicy r z pierwszego równania do drugiego i otrzymujemy:

${\left(a_1+7-a_1-1\right)}^2=a_1\cdot \left(a_1+2\left(7-a_1\right)+6\right)$

$6^2=a_1\cdot \left(a_1+14-2a_1+6\right)$  

$36=a_1\cdot \left(20-a_1\right)$

$36=20a_1-a_1^2\mid -36$

$-a_1^2+20a_1-36=0$

$\Delta ={20}^2-4\cdot \left(-1\right)\cdot \left(-36\right)=400-144=256,\sqrt{\Delta }=16$     

$a_1=\frac{-20-16}{-2}=18\text{lub}{a}_1=\frac{-20+16}{-2}=2$  

Wyznaczamy wartość różnicy:

$r=7-a_1$     

$r=7-18=-11\text{lub}r=7-2=5$  

Wnioskujemy, że kolejne wyrazy ciągu arytmetycznego spełniającego warunki zadania, to:

$18,7,-4\text{lub}2,7,12$  

---

---

b)

Z treści zadania wiemy, że liczby

$a,b,c$

są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego, gdzie:

$a+b+c=12$   

Natomiast liczby

$a+1,b+2,c+6$

są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego.

---

Zapisujemy kolejne wyrazy ciągu arytmetycznego z wykorzystaniem wzoru na n-ty wyraz

w ciągu arytmetycznym i dostajemy ciąg o wyrazach:

$a,\underset{=b}{\underbrace{a+r}},\underset{=c}{\underbrace{a+2r}}$

Wiemy, że

$a+b+c=a+a+r+a=2r=3a+3r=12$

---

Pamiętamy, że pomiędzy sąsiednimi wyrazami w ciągu geometrycznym zachodzi zależność:

${\left(b+2\right)}^2=\left(a+1\right)\left(c+6\right)$

Powyższe równanie możemy zapisać w postaci:

${\left(a+r+2\right)}^2=\left(a+1\right)\left(a+2r+6\right)$

---

Aby wyznaczyć liczby a, b, c, należy rozwiązać układ równań:

$\{\begin{array}{l}3a+3r=12\\ {\left(a+r+2\right)}^2=\left(a+1\right)\left(a+2r+6\right)\end{array}$

$\{\begin{array}{l}3\left(a+r\right)=12\mid :3\\ {\left(a+r+2\right)}^2=\left(a+1\right)\left(a+2r+6\right)\end{array}$    

$\{\begin{array}{l}a+r=4\mid -r\\ {\left(a+r+2\right)}^2=\left(a+1\right)\left(a+2r+6\right)\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}a=4-r\\ {\left(a+r+2\right)}^2=\left(a+1\right)\left(a+2r+6\right)\end{array}$  

Podstawiamy wartość a z pierwszego równania do drugiego i dostajemy:

${\left(4-r+r+2\right)}^2=\left(4-r+1\right)\left(4-r+2r+6\right)$

$6^2=\left(5-r\right)\left(10+r\right)$  

$36=50+5r-10r-r^2\mid -36$

$-r^2-5r+14=0$

$\Delta ={\left(-5\right)}^2-4\cdot \left(-1\right)\cdot 14=25+56=81,\sqrt{\Delta }=9$

$r=\frac{5-9}{-2}=2\text{lub}r=\frac{5+9}{-2}=-7$

Wracamy do podstawienia i wyznaczamy wartość pierwszego wyrazu ciągu:

$a=4-r$

$a=4-2=2\text{lub}a=4+7=11$      

 

Wnioskujemy, że

$\{\begin{array}{l}a=2\\ r=2\end{array}\text{lub}\{\begin{array}{l}a=11\\ r=-7\end{array}$  

 

Wobec tego: a=2, b=4, c=6 lub a=11, b=4, c=-3.