a)

Z treści zadania wiemy, że ciąg

$4,7,10,\dots ,34$  

jest ciągiem arytmetycznym.

---

Zauważamy, że

$a_1=4,a_2=7,a_n=34,r=a_2-a_1=7-4=3$

---

Wyznaczamy liczbę wyrazów powyższego ciągu korzystając ze wzoru na n-ty wyraz w ciągu arytmetycznym. 

$a_n=a_1+\left(n-1\right)r$

$34=4+\left(n-1\right)\cdot 3$

$34=4+3n-3$

$34=3n+1\mid -1$

$3n=33\mid :3$

$n=11$

Zatem podany ciąg ma 11 wyrazów.      

---

Wyznaczamy sumę:

$S_{11}=\frac{4+34}{2}\cdot 11=\frac{38}{2}\cdot 11=19\cdot 11=209$   

---

---

b)

Z treści zadania wiemy, że ciąg

$\frac{1}{3},1,1\frac{2}{3},\dots ,9\frac{2}{3}$  

jest ciągiem arytmetycznym.

---

Zauważamy, że

$a_1=\frac{1}{3},a_2=7=1,a_n=9\frac{2}{3},r=a_2-a_1=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$

---

Wyznaczamy liczbę wyrazów powyższego ciągu korzystając ze wzoru na n-ty wyraz w ciągu arytmetycznym.

$a_n=a_1+\left(n-1\right)r$

$9\frac{2}{3}=\frac{1}{3}+\left(n-1\right)\cdot \frac{2}{3}$

$9\frac{2}{3}=\frac{1}{3}+\frac{2}{3}n-\frac{2}{3}$

$9\frac{2}{3}=\frac{2}{3}n-\frac{1}{3}\mid +\frac{1}{3}$

$\frac{2}{3}n=10\mid \cdot \frac{3}{2}$

$n=15$

Zatem podany ciąg ma 15 wyrazów.  

---

Wyznaczamy sumę:

$S_{15}=\frac{\frac{1}{3}+9\frac{2}{3}}{2}\cdot 15=\frac{10}{2}\cdot 15=5\cdot 15=75$  

---

---

c)

Z treści zadania wiemy, że ciąg

$-3,-5,-7,\dots ,-41$  

jest ciągiem arytmetycznym.

---

Zauważamy, że

$a_1=-3,a_2=-5,a_n=-41,r=a_2-a_1=-5+3=-2$

---

Wyznaczamy liczbę wyrazów powyższego ciągu korzystając ze wzoru na n-ty wyraz w ciągu arytmetycznym.

$a_n=a_1+\left(n-1\right)r$

$-41=-3+\left(n-1\right)\cdot \left(-2\right)$

$-41=-3-2n+2$

$-41=-2n-1\mid +1$

$-2n=-40\mid :\left(-2\right)$

$n=20$

Zatem podany ciąg ma 20 wyrazów.  

---

Wyznaczamy sumę:

$S_{20}=\frac{-3-41}{2}\cdot 20=\left(-44\right)\cdot 10=-440$