Punkty równo odległe od dwóch przecinających się prostych leżą na dwusiecznych kątów utworzonych przez te proste.

---

a)

Z treści zadania wiemy, że

$k:y=2x+5,l:y=-2x-2$

Wyznaczamy punkt przecięcia prostych 

$\{\begin{array}{l}y=2x+5\\ y=-2x-2\end{array}$

$2x+5=-2x-2\mid +2x-5$

$4x=-7\mid :4$

$x=-\frac{7}{4}$

$y=2x+5=2\cdot \left(-\frac{7}{4}\right)+5=-\frac{7}{2}+5=-\frac{7}{2}+\frac{10}{2}=\frac{3}{2}$

Proste k i l przecinają się w punkcie

$\left(-\frac{7}{4},\frac{3}{2}\right)$    

Zatem zbiór punktów równo odległych od tych prostych jest sumą dwóch prostych

$x=-\frac{7}{2}\text{oraz}y=\frac{3}{2}$      

---

---

b)

Z treści zadania wiemy, że

$k:y=3,l:x=1$

Proste k i l przecinają się w punkcie

$\left(1,3\right)$    

---

---

Zauważamy, że prosta m przechodzi przez punkt (1, 3) oraz (-2, 0).

Wyznaczamy równanie prostej m.

$m:y=ax+b$

$\{\begin{array}{l}3=a+b\\ 0=-2a+b\end{array}$

$\{\begin{array}{l}a=3-b\\ 0=-2a+b\end{array}$  

$0=-2\left(3-b\right)+b$

$0=-6+2b+b$

$3b-6=0\mid +6$

$3b=6\mid :3$

$b=2$         

$a=3-b=3-2=1$

$m:y=x+2$

---

Prosta n jest prostopadła do prostej m oraz przechodzi przez punkt (1, 3), więc

$n:y=-x+c$  

$3=-1+b\mid +1$

$b=4$

$n:y=-x+4$      

---

Zatem zbiór punktów równo odległych od tych prostych jest sumą dwóch prostych

$y=x+2\text{oraz}y=-x+4$      

---

---

c)

Z treści zadania wiemy, że

$k:y=0,l:y=\sqrt{3}x$

Wyznaczamy punkt przecięcia prostych

$\{\begin{array}{l}y=0\\ y=\sqrt{3}x\end{array}$

$0=\sqrt{3}x\mid :\sqrt{3}$

$x=0$

Proste k i l przecinają się w punkcie

$\left(0,0\right)$    

---

Prosta w której są zawarte dwusieczne kątów utworzonych przez te proste przechodzą

przez punkt (0, 0), zatem równanie tych prostych możemy zapisać w postaci

$y=ax$

Powyższa prosta przechodzi przez punkt (1, a), niech a>0.

Zapisujemy równania prostych k i l w postaci ogólnej

$k:y=0$

$l:\sqrt{3}x-y=0$     

---

Odległość prostych k i l od punkty (1, a) jest taka sama, więc

$\frac{\left|0\cdot 1+1\cdot a+0\right|}{\sqrt{0^2+1^2}}=\frac{\left|\sqrt{3}\cdot 1+\left(-1\right)\cdot a+0\right|}{\sqrt{{\left(\sqrt{3}\right)}^2+{\left(-1\right)}^2}}$

$\frac{\left|a\right|}{1}=\frac{\left|\sqrt{3}-a\right|}{\sqrt{4}}$   

$a=\frac{\left|\sqrt{3}-a\right|}{2}\mid \cdot 2$

$2a=\left|\sqrt{3}-a\right|$

$\sqrt{3}-a=2a\vee \sqrt{3}-a=-2a$

$3a=\sqrt{3}\vee \sqrt{3}=-a$

$a=\frac{\sqrt{3}}{3}\vee a=-\sqrt{3}$      

Zatem zbiór punktów równo odległych od tych prostych jest sumą dwóch prostych

$y=\frac{\sqrt{3}}{3}x\text{oraz}y=-\sqrt{3}x$      

---

---

d)

Z treści zadania wiemy, że

$k:y=-3,l:y=1$

Proste nie mają punktu wspólnego, bo są względem siebie równoległe.

Zauważamy, że odległość pomiędzy prostymi, to 3+1=4, zatem 

Zatem zbiór punktów równo odległych od tych prostych zawiera się w prostej

$y=-1$