a)

Z treści zadania wiemy, że

$A\left(4,1\right),S\left(0,2\right),r=1$

 

Równania stycznych możemy zapisać w postaci

$y=ax+b$

Styczne do okręgu przechodzą przez punkt A, więc

$1=4a+b$

$b=1-4a$   

Zapiszmy równanie stycznej w postaci ogólnej

$ax-y+b=0$

Podstawiając w miejsce b wyznaczona wyżej wartość otrzymujemy 

$ax-y+1-4a=0$      

 

Pamiętamy, że odległość środka okręgu od stycznej jest równa promieniowi okręgu, więc

$1=\frac{\left|a\cdot 0+\left(-1\right)\cdot 2+1-4a\right|}{\sqrt{a^2+{\left(-1\right)}^2}}$

$1=\frac{\left|-1-4a\right|}{\sqrt{a^2+1}}$

$\left|-1-4a\right|=\sqrt{a^2+1}\mid {\left(\right)}^2,\text{obie strony roˊwnania są dodatnie}$

${\left(-1-4a\right)}^2=a^2+1$

${\left(-\left(1+4a\right)\right)}^2=a^2+1$

${\left(1+4a\right)}^2=a^2+1$

$1+8a+16a^2=a^2+1$    

$15a^2+8a=0$

$a\left(15a+8\right)=0$

$a=0\vee 15a=-8$

$a=-\frac{8}{15}$

zatem

$b=1-4a=1-4\cdot 0=1\vee b=1-4a=1-4\cdot \left(-\frac{8}{15}\right)=1+\frac{32}{15}=\frac{15}{15}+\frac{32}{15}=\frac{47}{15}$       

---

Równania stycznych:

$y=1,y=-\frac{8}{15}x+\frac{47}{15}$  

---

Wyznaczmy odległość punktu A od środka okręgu

$\left|AS\right|=\sqrt{{\left(0-4\right)}^2+{\left(2-1\right)}^2}=\sqrt{16+1}=\sqrt{17}$

Zatem odległość punktu A od punktów styczności możemy obliczyć korzystając z twierdzenia Pitagorasa

$d=\sqrt{{\left(\sqrt{17}\right)}^2-1^2}=\sqrt{17-1}=\sqrt{16}=4$       

---

---

b)

Z treści zadania wiemy, że

$A\left(-3,-2\right),S\left(2,3\right),r=\sqrt{10}$

 

Równania stycznych możemy zapisać w postaci

$y=ax+b$

Styczne do okręgu przechodzą przez punkt A, więc

$-2=-3a+b$

$b=-2+3a$   

Zapiszmy równanie stycznej w postaci ogólnej

$ax-y+b=0$

Podstawiając w miejsce b wyznaczona wyżej wartość otrzymujemy

$ax-y-2+3a=0$      

 

Pamiętamy, że odległość środka okręgu od stycznej jest równa promieniowi okręgu, więc

$\sqrt{10}=\frac{\left|a\cdot 2+\left(-1\right)\cdot 3-2+3a\right|}{\sqrt{a^2+{\left(-1\right)}^2}}$

$\sqrt{10}=\frac{\left|5a-5\right|}{\sqrt{a^2+1}}$

 

$\left|5a-5\right|=\sqrt{\left(a^2+1\right)\cdot 10}\mid {\left(\right)}^2,\text{obie strony roˊwnania są dodatnie}$

${\left(5a-5\right)}^2=\left(a^2+1\right)\cdot 10$

${\left(5a-5\right)}^2=10a^2+10$

$25a^2-50a+25=10a^2+10$    

 

$15a^2-50a+15=0\mid :5$

$3a^2-10a+3=0$  

$\Delta ={\left(-10\right)}^2-4\cdot 3\cdot 3=100-36=64,\sqrt{\Delta }=\sqrt{64}=8$

$a=\frac{10-8}{6}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}\vee a=\frac{10+8}{6}=\frac{18}{6}=3$

zatem

$b=-2+3a=-2+3\cdot \frac{1}{3}=-2+1=-1\vee b=-2+3a=-2+3\cdot 3=-2+9=7$   

---

Równania stycznych:

$y=\frac{1}{3}x-1,y=3x+7$  

---

Wyznaczmy odległość punktu A od środka okręgu

$\left|AS\right|=\sqrt{{\left(2+3\right)}^2+{\left(3+2\right)}^2}=\sqrt{25+25}=\sqrt{50}$

Zatem odległość punktu A od punktów styczności możemy obliczyć korzystając z twierdzenia Pitagorasa

$d=\sqrt{{\left(\sqrt{50}\right)}^2-{\left(\sqrt{10}\right)}^2}=\sqrt{50-10}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}$