a)

Wiemy, że

$\left|AB\right|=4\sqrt{2},S\left(3,3\right),k:y=x$  

Odcinek AB leży na prostej k, a punkt S jest jego środkiem.

 

Niech

$A\left(a,a\right),B\left(b,b\right)$  

ponieważ punkty A i B są położone na prostej y=x.

---

Wyznaczmy współrzędne punktu A i B. 

$\left|AB\right|=\sqrt{{\left(b-a\right)}^2+{\left(b-a\right)}^2}=4\sqrt{2}$

$\sqrt{2\cdot {\left(b-a\right)}^2}=\sqrt{16\cdot 2}$

$\sqrt{2\cdot {\left(b-a\right)}^2}=\sqrt{32}\mid {\left(\right)}^2$

$2\cdot {\left(b-a\right)}^2=32\mid :2$

${\left(b-a\right)}^2=16\mid \sqrt{}$

$\left|b-a\right|=4$

$b-a=4\vee b-a=-4$

$b=4+a\vee b=a-4$         

---

Wiemy również, że

$S\left(3,3\right)=\left(\frac{a+b}{2},\frac{a+b}{2}\right)$

zatem

$\frac{a+b}{2}=3\mid \cdot 2$

$a+b=6$

---

Zatem rozważamy dwa przypadki:

$1^{\circ }$   

$\{\begin{array}{l}b=4+a\\ a+b=6\end{array}$   

 

czyli

$a+4+a=6\mid -4$  

$2a=2\mid :2$

$a=1$

 

$\{\begin{array}{l}a=1\\ b=5\end{array}$     

---

$2^{\circ }$

$\{\begin{array}{l}b=a-4\\ a+b=6\end{array}$   

 

czyli

$a+a-4=6\mid +4$  

$2a=10\mid :2$

$a=5$

 

$\{\begin{array}{l}a=5\\ b=1\end{array}$  

---

Wnioskujemy, że

$A\left(1,1\right),B\left(5,5\right)\vee A\left(5,5\right),B\left(1,1\right)$   

---

b)

Wiemy, że

$\left|AB\right|=10,S\left(12,11\right),k:y=\frac{3}{4}x+2$  

Odcinek AB leży na prostej k, a punkt S jest jego środkiem.

 

Niech

$A\left(a,\frac{3}{4}a+2\right),B\left(b,\frac{3}{4}b+2\right)$  

ponieważ punkty A i B są położone na prostej y=3/4x+2.

---

Wyznaczmy współrzędne punktu A i B.

$\left|AB\right|=\sqrt{{\left(b-a\right)}^2+{\left(\frac{3}{4}b+2-\frac{3}{4}a-2\right)}^2}=10$

$\sqrt{{\left(b-a\right)}^2+{\left(\frac{3}{4}a-\frac{3}{4}b\right)}^2}=\sqrt{100}\mid \sqrt{}$

${\left(b-a\right)}^2+{\left(\frac{3}{4}a-\frac{3}{4}b\right)}^2=100$

$b^2-2ab+a^2+\frac{9}{16}{a}^2-\frac{9}{8}ab+\frac{9}{16}{b}^2=100$

$\frac{25}{16}{b}^2+\frac{25}{16}{a}^2-\frac{25}{8}ab=100\mid \cdot \frac{1}{25}$

$\frac{1}{16}{b}^2+\frac{1}{16}{a}^2-\frac{1}{8}ab=4\mid \cdot 16$   

$b^2+a^2-2ab=64$  

${\left(b-a\right)}^2=64\mid \sqrt{}$

$\left|b-a\right|=8$

$b-a=8\vee b-a=-8$    

$b=8+a\vee b=a-8$       

---

Wiemy również, że

$S\left(12,11\right)=\left(\frac{a+b}{2},\frac{\frac{3}{4}a+2+\frac{3}{4}b+2}{2}\right)$

zatem

• $\frac{a+b}{2}=12\mid \cdot 2$

$a+b=24$

 

• $\frac{\frac{3}{4}a+2+\frac{3}{4}b+2}{2}=11\mid \cdot 2$  

$\frac{3}{4}a+\frac{3}{4}b+4=22\mid -4$

$\frac{3}{4}a+\frac{3}{4}b=18$

$\frac{3}{4}\left(a+b\right)=18\mid \cdot \frac{4}{3}$

$a+b=24$     

---

Zatem rozważamy dwa przypadki:

$1^{\circ }$   

$\{\begin{array}{l}b=8+a\\ a+b=24\end{array}$   

 

czyli

$a+8+a=24\mid -8$  

$2a=16\mid :2$

$a=8$

 

$\{\begin{array}{l}a=8\\ b=16\end{array}$     

---

$2^{\circ }$

$\{\begin{array}{l}b=a-8\\ a+b=24\end{array}$   

 

czyli

$a+a-8=24\mid +8$  

$2a=32\mid :2$

$a=16$

 

$\{\begin{array}{l}a=16\\ b=8\end{array}$  

---

Wnioskujemy, że

$A\left(8,8\right),B\left(16,14\right)\vee A\left(16,14\right),B\left(8,8\right)$