a)

Z treści zadania wiemy, że:

$a_n=\frac{-n+2}{3},n\in {\mathbb{N}}_{+}$  

Wyznaczamy wyraz:

$a_{n+1}=\frac{-\left(n+1\right)+2}{3}=\frac{-n-1+2}{3}=\frac{-n+1}{3}$  

Badamy monotoniczność ciągu poprzez znak różnicy: 

$a_{n+1}-a_n=\frac{-n+1}{3}-\frac{-n+2}{3}=$

$=\frac{-n+1+n-2}{3}=\frac{-1}{3}=-\frac{1}{3}<0,n\in {\mathbb{N}}_{+}$   

Wnioskujemy, że:

$a_{n+1}-a_n<0$

wobec tego ciąg jest malejący. 

---

b)

Z treści zadania wiemy, że:

$a_n=\frac{2n+1}{2n+3},n\in {\mathbb{N}}_{+}$  

Wyznaczamy wyraz:

$a_{n+1}=\frac{2\left(n+1\right)+1}{2\left(n+1\right)+3}=\frac{2n+3}{2n+5}$  

Badamy monotoniczność ciągu poprzez znak różnicy:

$a_{n+1}-a_n=\frac{2n+3}{2n+5}-\frac{2n+1}{2n+3}=$

$=\frac{{\left(2n+3\right)}^2-\left(2n+1\right)\left(2n+5\right)}{\left(2n+5\right)\left(2n+3\right)}$   

$=\frac{4n^2+12n+9-\left(4n^2+10n+2n+5\right)}{\left(2n+5\right)\left(2n+3\right)}=$  

$=\frac{4}{\left(2n+5\right)\left(2n+3\right)}>0,n\in {\mathbb{N}}_{+}$  

Wnioskujemy, że:

$a_{n+1}-a_n>0$

wobec tego ciąg jest rosnący. 

---

c)

Z treści zadania wiemy, że:

$a_n=\frac{2n^2+1}{2n^2},n\in {\mathbb{N}}_{+}$  

Wyznaczamy wyraz:

$a_{n+1}=\frac{2{\left(n+1\right)}^2+1}{2{\left(n+1\right)}^2}=\frac{2\left(n^2+2n+1\right)+1}{2\left(n^2+2n+1\right)}=$

$=\frac{2n^2+4n+2+1}{2n^2+4n+2}=$   

$=\frac{2n^2+4n+3}{2n^2+4n+2}$  

Badamy monotoniczność ciągu poprzez znak różnicy:

$a_{n+1}-a_n=\frac{2n^2+4n+3}{2n^2+4n+2}-\frac{2n^2+1}{2n^2}=$

$=\frac{2n^2\left(2n^2+4n+3\right)-\left(2n^2+1\right)\left(2n^2+4n+2\right)}{2n^2\left(2n^2+4n+2\right)}=$   

$=\frac{4n^4+8n^3+6n^2-\left(4n^4+8n^3+4n^2+2n^2+4n+2\right)}{2n^2\left(2n^2+4n+2\right)}=$  

$=\frac{-\left(4n+2\right)}{2n^2\left(2n^2+4n+2\right)}<0,n\in {\mathbb{N}}_{+}$  

Wnioskujemy, że:

$a_{n+1}-a_n<0$

wobec tego ciąg jest malejący. 

---

d)

Z treści zadania wiemy, że:

$a_n=\frac{5-3n}{2n+1},n\in {\mathbb{N}}_{+}$  

Wyznaczamy wyraz:

$a_{n+1}=\frac{5-3\left(n+1\right)}{2\left(n+1\right)+1}=$  

$=\frac{5-3n-3}{2n+3}=\frac{2-3n}{2n+3}$  

Badamy monotoniczność ciągu poprzez znak różnicy:

$a_{n+1}-a_n=\frac{2-3n}{2n+3}-\frac{5-3n}{2n+1}=$

$=\frac{\left(2-3n\right)\left(2n+1\right)-\left(5-3n\right)\left(2n+3\right)}{\left(2n+3\right)\left(2n+1\right)}=$   

$=\frac{4n+2-6n^2-3n-\left(10n+15-6n^2-9n\right)}{\left(2n+3\right)\left(2n+1\right)}=$  

$=\frac{-13}{\left(2n+3\right)\left(2n+1\right)}<0,n\in {\mathbb{N}}_{+}$  

Wnioskujemy, że:

$a_{n+1}-a_n<0$

wobec tego ciąg jest malejący.