Z treści zadania wiemy, że ciąg (a_n) jest ciągiem arytmetycznym, gdzie:

$a_1+a_2+a_3=15$

Natomiast:

$\left(a_1+1,a_2+1,a_3+4\right)-\text{ciąg geometryczny}$   

Należy wyznaczyć wartości wyrazów ciągu arytmetycznego, czyli: 

$a_1=\text{?}$  

$a_2=a_1+r=\text{?}$  

$a_3=a_1+2r=\text{?}$  

Wobec tego musimy wyznaczyć wartość różnicy ciągu arytmetycznego oraz jego pierwszy wyraz.

---

Wyrazy ciągu geometrycznego możemy zapisać w postaci:

$\left(a_1+1,a_1+r+1,a_1+2r+4\right)$

Korzystając z zależności zachodzącej pomiędzy sąsiednimi wyrazami

ciągu geometrycznego dostajemy równanie:

${\left(a_1+r+1\right)}^2=\left(a_1+1\right)\left(a_1+2r+4\right)$   

Sumę podaną w treści zadania możemy zapisać w postaci:

$a_1+a_2+a_3=a_1+a_1+r+a_1+2r=3a_1+3r=15$  

---

Rozwiązujemy układ równań:

$\{\begin{array}{l}3a_1+3r=15\\ {\left(a_1+r+1\right)}^2=\left(a_1+1\right)\left(a_1+2r+4\right)\end{array}$      

$\{\begin{array}{l}3\left(a_1+r\right)=15\mid :3\\ {\left(a_1+r+1\right)}^2=\left(a_1+1\right)\left(a_1+2r+4\right)\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}{a}_1+r=5\mid -r\\ {\left(a_1+r+1\right)}^2=\left(a_1+1\right)\left(a_1+2r+4\right)\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}{a}_1=5-r\\ {\left(a_1+r+1\right)}^2=\left(a_1+1\right)\left(a_1+2r+4\right)\end{array}$  

Podstawiamy wartość pierwszego wyrazu z pierwszego równania do drugiego i dostajemy:

${\left(5-r+r+1\right)}^2=\left(5-r+1\right)\left(5-r+2r+4\right)$  

$6^2=\left(6-r\right)\left(9+r\right)$

$36=54-r^2+6r-9r\mid -36$

$-r^2-3r+18=0$

$\Delta ={\left(-3\right)}^2-4\cdot \left(-1\right)\cdot 18=9+72=81,\sqrt{\Delta }=9$

$r=\frac{3-9}{-2}=3\text{lub}r=\frac{3+9}{-2}=-6$      

Wyznaczamy wartość pierwszego wyrazu ciągu arytmetycznego:

$a_1=5-r$  

$a_1=5-3=2\text{lub}{a}_1=5-\left(-6\right)=5+6=11$

Wnioskujemy, że

$\{\begin{array}{l}{a}_1=2\\ r=3\end{array}\text{lub}\{\begin{array}{l}{a}_1=11\\ r=-6\end{array}$   

Liczby tworzące ciąg arytmetyczny, to:

$2,5,8\text{lub}11,5,-1$