a)

$A\left(-2,0\right),B\left(1,3\right),C\left(1,-1\right),D\left(4,2\right)$

---

Wyznaczamy równanie prostej AB

$a_{AB}=\frac{3-0}{1+2}=\frac{3}{3}=1$

$AB:y=x+b$

Podstawiamy współrzędne punktu A i dostajemy

$0=-2+b\mid +2$

$b=2$

$AB:y=x+2$

---

Wyznaczamy równanie prostej CD 

$a_{CD}=\frac{2+1}{4-1}=\frac{3}{3}=1$

$CD:y=x+b_1$  

Podstawiamy współrzędne punktu C i dostajemy

$-1=1+b_1\mid -1$        

$b_1=-2$

$CD:y=x-2$   

---

Zauważamy, że

$a_{AB}=a_{CD}=1$

Zatem proste AB i CD są względem siebie równoległe.

---

Obliczamy odległość między prostymi AB i CD.

Zapisujemy równania prostych w postaci ogólnej

$AB:x-y+2=0$

$CD:x-y-2=0$   

$d=\frac{\left|2+2\right|}{\sqrt{1^2+{\left(-1\right)}^2}}=\frac{4}{\sqrt{2}}\cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\frac{4\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}$  

---

---

b)

$A\left(-1,3\right),B\left(1,-1\right),C\left(5,1\right),D\left(2,7\right)$

---

Wyznaczamy równanie prostej AB

$a_{AB}=\frac{-1-3}{1+1}=-\frac{4}{2}=-2$

$AB:y=-2x+b$

Podstawiamy współrzędne punktu A i dostajemy

$3=-2\cdot \left(-1\right)+b\mid -2$

$b=1$

$AB:y=-2x+1$

---

Wyznaczamy równanie prostej CD 

$a_{CD}=\frac{7-1}{2-5}=\frac{6}{-3}=-2$

$CD:y=-2x+b_1$  

Podstawiamy współrzędne punktu C i dostajemy

$1=-2\cdot 5+b_1\mid +10$        

$b_1=11$

$CD:y=-2x+11$   

---

Zauważamy, że

$a_{AB}=a_{CD}=-2$

Zatem proste AB i CD są względem siebie równoległe.

---

Obliczamy odległość między prostymi AB i CD.

Zapisujemy równania prostych w postaci ogólnej

$AB:2x+y-1=0$

$CD:2x+y-11=0$   

$d=\frac{\left|-1+11\right|}{\sqrt{2^2+1^2}}=\frac{10}{\sqrt{5}}\cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=\frac{10\sqrt{5}}{5}=2\sqrt{5}$