Punkty A, B, C są współliniowe wtedy i tylko wtedy, gdy suma długości dwóch spośród odcinków  AB, BC, AC jest równa długości trzeciego z nich.

---

a)

$A\left(-4,5\right),B\left(0,2\right),C\left(8,-4\right)$  

$\left|AB\right|=\sqrt{{\left(0+4\right)}^2+{\left(2-5\right)}^2}=\sqrt{4^2+{\left(-3\right)}^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5$

$\left|BC\right|=\sqrt{{\left(8-0\right)}^2+{\left(-4-2\right)}^2}=\sqrt{8^2+{\left(-6\right)}^2}=\sqrt{64+36}=\sqrt{100}=10$

$\left|AC\right|=\sqrt{{\left(8+4\right)}^2+{\left(-4-5\right)}^2}=\sqrt{{12}^2+{\left(-9\right)}^2}=\sqrt{144+81}=\sqrt{225}=15$    

Sprawdzamy współliniowość punktów 

$\left|AB\right|+\left|BC\right|=\left|AC\right|$

Zatem punkty A, B, C są współliniowe.

---

b)

$A\left(13,5\right),B\left(-3,-3\right),C\left(5,1\right)$  

$\left|AB\right|=\sqrt{{\left(-3-13\right)}^2+{\left(-3-5\right)}^2}=\sqrt{{\left(-16\right)}^2+{\left(-8\right)}^2}=\sqrt{256+64}=\sqrt{320}=8\sqrt{5}$

$\left|BC\right|=\sqrt{{\left(5+3\right)}^2+{\left(1+3\right)}^2}=\sqrt{8^2+4^2}=\sqrt{64+16}=\sqrt{80}=4\sqrt{5}$

$\left|AC\right|=\sqrt{{\left(5-13\right)}^2+{\left(1-5\right)}^2}=\sqrt{{\left(-8\right)}^2+{\left(-4\right)}^2}=\sqrt{64+16}=\sqrt{80}=4\sqrt{5}$    

Sprawdzamy współliniowość punktów

$\left|AC\right|+\left|BC\right|=\left|AB\right|$

Zatem punkty A, B, C są współliniowe.

---

c)

$A\left(-4,-12\right),B\left(2,-4\right),C\left(10,2\right)$  

$\left|AB\right|=\sqrt{{\left(2+4\right)}^2+{\left(-4+12\right)}^2}=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10$

$\left|BC\right|=\sqrt{{\left(10-2\right)}^2+{\left(2+4\right)}^2}=\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{64+36}=\sqrt{100}=10$

$\left|AC\right|=\sqrt{{\left(10+4\right)}^2+{\left(2+12\right)}^2}=\sqrt{{14}^2+{14}^2}=\sqrt{196+196}=\sqrt{2\cdot 196}=14\sqrt{2}$    

Sprawdzamy współliniowość punktów

$\left|AC\right|+\left|BC\right|\ne \left|AB\right|,\left|AC\right|+\left|AB\right|\ne \left|BC\right|,\left|BC\right|+\left|AB\right|\ne \left|AC\right|$

Zatem punkty A, B, C nie są współliniowe.

---

d)

$A\left(-2\sqrt{2},8\right),B\left(0,0\right),C\left(\sqrt{2},-4\right)$  

$\left|AB\right|=\sqrt{{\left(0+2\sqrt{2}\right)}^2+{\left(0-8\right)}^2}=\sqrt{{\left(2\sqrt{2}\right)}^2+{\left(-8\right)}^2}=\sqrt{8+64}=\sqrt{72}=6\sqrt{2}$

$\left|BC\right|=\sqrt{{\left(\sqrt{2}-0\right)}^2+{\left(-4-0\right)}^2}=\sqrt{{\left(\sqrt{2}\right)}^2+{\left(-4\right)}^2}=\sqrt{2+16}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}$

$\left|AC\right|=\sqrt{{\left(\sqrt{2}+2\sqrt{2}\right)}^2+{\left(-4-8\right)}^2}=\sqrt{{\left(3\sqrt{2}\right)}^2+{\left(-12\right)}^2}=\sqrt{18+144}=\sqrt{162}=9\sqrt{2}$  

Sprawdzamy współliniowość punktów

$\left|AB\right|+\left|BC\right|=\left|AC\right|$

Zatem punkty A, B, C są współliniowe.