Uzasadnijmy wzór na pole powierzchni całkowitej czworościanu:

$P=a^2\sqrt{3}$  

Pole trójkąta równobocznego wyraża się wzorem:

$P=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$  


Pole czworościanu foremnego to suma pól 4 przystających trójkątów równobocznych, zatem:

$P_c=4\cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4}=a^2\sqrt{3}$  

---

Uzasadnijmy wzór na objętość czworościanu:

$V=\frac{a^3\sqrt{2}}{12}$  

Wyznaczmy długość wysokości czworościanu o krawędzi długości a:

$h_p=\frac{a\sqrt{3}}{2}$  

$h^2+{\left(\frac{2}{3}\cdot h_p\right)}^2=a^2$  

$h^2+\frac{4}{9}\cdot \frac{3a^2}{4}=a^2$  

$h^2+\frac{a^2}{3}=a^2$  

$h^2=\frac{2}{3}{a}^2$  

$h=\frac{\sqrt{2}}{3}a$  

zatem:

$V=\frac{1}{3}\cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4}\cdot \sqrt{\frac{2}{3}}a=\frac{a^3\sqrt{3\cdot \frac{2}{3}}}{12}=\frac{a^3\sqrt{2}}{12}$